浙江省杭州市2025-2026学年第一学期高三期末测试数学试卷（含答案）

高三数学试题卷
考生须知：
1. 本科考试分为试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效．
3. 考试结束，只需上交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知为实数，，，则“”是“向量，共线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某校举办了一次以“消防安全”为主题的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，记样本数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，，，为边上的中点，且，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，，，，，每个点均在函数的图象上．已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（ ）
A．是等比数列，且公比为
B．是等比数列，且公比为
C．是等差数列，且公差为
D．是等差数列，且公差为
二、多选题：本题共小题，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．
9. 已知函数，则（ ）
A．的周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．在区间上有个零点
10. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，过的一条直线与交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．
B．
C．直线与的斜率之和为
D．与的面积相等
11. 二进制是一种使用和两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础．对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数在二进制中就表示为，表示为．自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，，或，
记，为整数的二进制表达式中的个数，则以下说法中
正确的是（ ）
A.
B. 对任意，
C. 存在，
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________．
13. 已知，，则________．
14. 公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数，的图象存在两条不同的公切线，则实数的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分13分）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，若，，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
16. （本小题满分15分）冬季是流感高发季，某卫生部门为宣传如何预防流感病毒制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宣传，其中30人采用宣传方法一，30人采用宣传方法二，宣传后的人群对预防流感病毒的方法的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”．经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有24人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有12人是“比较了解”．
（1）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传如何预防流感病毒，记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为“比较了解”的人的概率．
17.（本小题满分15分）如图所示，在四棱锥中，，，，是正三角形．
（1）设为与的交点，为棱上一点，且平面，求的值；
（2）设是棱的中点，求证：平面；
（3）设是棱上一个动点，若直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长度．
18.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的右顶点，上顶点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线，的斜率分别为，．
（i）求证：为定值；（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值．
19.（本小题满分17分）已知函数，．
（1）当时，求在区间上的极值；
（2）当时，若对任意恒成立，求的取值范围；
（3）设，，，，且，证明：．
高三数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A D B D B C
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 AC ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 【答案】（1）设数列的公差为，的公比为，
由题意得，解得，所以，分
又，解得，所以；分
(2)由条件得，分
所以的前项和
= 分
= 。分
16. 【答案】(1)采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，分
则，，，
X 0 1 2
P
分
故．分
（2）抽取的10人中，了解程度为“比较了解”的有人，且采用方法一宣传的有人，
采用方法二宣传的有人．分
宣传方法 了解程度 合计
比较了解 有点了解
方法一 4 1 5
方法二 2 3 5
合计 6 4 10
记事件表示“第一次抽到比较了解的人”，
事件表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”，
则，，分
所以分
17．【答案】（1）平面，平面，平面平面
分
，，，
分
（2）取的中点，连接、，，，
，，且，即四边形为平行四边形，
分
在中，为中点，
，，，平面，
又，，，平面分
平面．分
(3)取的中点，的中点，连接，，由条件知，，两两垂直，以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．分
所以，，设平面的一条法向量为．
由得到，取，即．分
设，，
则．分
设直线与平面的所成角为，
则分
化简得，解得或（舍去），
所以．
故线段的长度为．分
18．【答案】(1)椭圆的离心率为，所以，即．分
因为，分
又，解得，，
所以椭圆的标准方程为．分
（2）（i）设直线的方程为，其中，且，，，
联立方程组，整理得，
所以，．分
（i）所以
，
故为定值．分
（ii）直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故，
由（i）可知，，故，所以点是线段的中点．
故的面积，其中为点到直线的距离．分
显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值．
设直线的方程为，即，
联立，整理得，由，解得．分
所以平行直线：与：之间的距离为，
即的最大值为，分
此时的面积为，即的面积的最大值为．分
19．【答案】(1)，()，分
当时，，在上单调递减，故无极值；分
当时，由解得，且在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有极小值，无极大值．分
（2）由整理得，令，则，
注意到，故由必要条件知，解得．分
下面证明充分性：当时，由于，故，
令，，由于，于是，
所以在区间上单调递增，故，充分性得证．
故实数的取值范围为．分
（2）不妨设，
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边右边；分
当，因为，，，所以，．
要证，即证，分
即证，即证，分
令，则，
因为，所以，所以在区间上单调递减，
所以当时，，所以，所以在区间上单调递增，分
因为，所以，所以，
所以，即．
综上可知，．分