四川省达州市2025-2026学年上学期期末高三数学试卷（含答案）

高三数学检测
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.
1. 若复数 ， ， ， 则 的
A. 实部为
B. 虚部为
C. 实部为
D. 虚部为
2. 某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众人、VR全景云包厢观众人、线上直播观众人中抽取人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为
A. B.
C. D.
3. 已知集合， ， 则
A. B.
C. D.
4. 设 为双曲线的右支上一点， 的左、右焦点分别为，， 且， 若 为坐标原点， 为线段的中点， 则
A. B.
C. D.
5. 在棱长为的正方体中， 棱，的中点分别为，， 且点 在侧面内， 若平面， 则点 的轨迹长度为
A. B.
C. D.
6. 若函数有个零点， 则的取值范围是
A. B.
C. D.
7. 数列的前项和为
A. B.
C. D.
8. 已知函数 的值域是 ，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 在平行四边形 中，， 为线段 的中点，则
A.
B. 当 时，
C. 不可能大于
D. 当 且 时， 的最小值为4
10. 在正三棱锥 中，，则
A. 的取值范围是
B. 当 时，平面 平面
C. 当 时，二面角 的正切值为2
D. 当 时，正三棱锥 外接球的表面积为
11. 已知曲线 ，点 ，，，，，， 为 上关于 轴对称的两点，则
A. 由两个离心率相等的椭圆组成
B. 经过点 的直线 与 有4个公共点
C. 存在四个点 ，使得
D. 当 为正三角形时，点 到直线 的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 四川火锅以麻、辣、鲜、香著称，是四川的美食代表。某四川火锅店的一桌食客选择了麻辣汤底，食材需由食客自行挑选，这桌食客要从牛肉、鸭肠、羊肉、毛肚、黄喉、耗儿鱼、虾滑、鸭血、黄腊丁中选6种，从菠菜、娃娃菜、豆芽、土豆、藕片、莴笋、冬瓜、蘑菇、豆腐皮、山药中选8种，则这桌食客的食材选择共有 种。
13. 在 中，，，，则 边上的高为
14. 若曲线 与曲线 有三条公切线，则 的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数.
（1）求；
（2）求的最小值；
（3）求图象的对称中心的坐标.
16.(15分)
近年来，智能仓储机器人系统广泛应用于物流分拣领域.在某智能仓库中，两个机器人A和B需协同完成货物搬运任务.已知机器人A单独在单位时间内成功搬运货物的概率，机器人B单独在单位时间内成功搬运货物的概率.当这两个机器人同时工作时，系统会赋予一个“协同增益系数”，该系数体现了机器人协同工作的效率提升效果，在单位时间内至少有一个机器人成功搬运的概率.
（1）若机器人A，B各自独立参与货物的搬运，设在单位时间内成功搬运货物的机器人个数为X，求X的均值；
（2）在（1）的条件下，设，若是的倍，求m的近似值（结果精确到整数）.
17.(15分)
如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）设，三棱锥的体积为.
（ⅰ）求的单调区间；
（ⅱ）当取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值.
18.(17分)
已知抛物线的准线方程为。
（1） 求的方程。
（2） 过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点。
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的取值范围；
（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上。
19.(17分)
已知等差数列的首项为，正项等比数列的首项为，且，。
（1） 求和的通项公式；
（2） 若，，求的取值范围；
（3） 设，证明：。
高三数学检测参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B C C D A B ABD BC ACD
题序 12 13 14
答案 3 780
15.解：（1） . ……………………………… 2分
（2） ……………………………… 3分
. …………………………………………………… 6分
当时，取得最小值，且最小值为. ……………………………… 8分
（3）令， ……………………………………………………………… 10分
得， ……………………………………………………………… 11分
所以图象的对称中心的坐标为. ……………………………… 13分
【评分细则】
【1】第（2）问中，得到，但未得到或，扣1分.
【2】第（3）问中，图象的对称中心的坐标写为，不给分；未写共扣1分，不重复扣分.
16.解：（1）的所有可能取值为，，， ………………………………………………… 1分
. ………………………………………………… 3分
， ……………………………………… 5分
， ………………………………………………… 6分
故. ……………………………………… 8分
（2）由（1）知. …………………………………… 10分
因为， ………… 12分
所以， …………………………… 14分
故的近似值为. …………………………………………………………………… 15分
【评分细则】
【1】第（1）问中，还可以这样计算：.
【2】第（2）问中，“”还可以写为“”.
17.（1）证明：因为，，两两垂直，且， ……………………………… 1分
所以平面. …………………………………………………………… 2分
又平面，所以平面平面. …………………………………… 3分
（2）解：（ⅰ）因为，，所以. …………………………………… 4分
因为，所以，.
由平面，得， ……
………………………………………………………………………………… 6分
则， ……………………………………………… 7分
当时，，当时，，……………………………………… 8分
所以的单调递增区间为，单调递减区间为。 ………………………………… 9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，此时，，，
， ……………………………………………………………………… 10分
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，，，…………………………… 11分
则，，。 … 12分
设平面的法向量为，
则，， ……………………………… 13分
令，得。……………………………………………………………… 14分
设直线与平面所成的角为，
则，。 ……………………………… 15分
【评分细则】
【1】第（1）问中，未写“平面”，扣1分。
【2】第（2）（Ⅱ）问中，平面的法向量不唯一，只要求所求法向量是与共线的
非零向量即可。
18.
（1）解：因为的准线方程为，所以，即， …………………… 1分
所以，则的方程为。 …………………………………………… 2分
（2）（ⅰ）解：依题意得直线的方程为，
代入，得， ………………………………………… 3分
则且，解得且， …………………… 5分
所以的取值范围是。……………………………………… 6分
（ⅱ）解：设，，则，， …………………… 7分
所以
…………………………………………………………………………………… 8分
。 ……………………………………………… 9分
若，即，则，则，
即OA→·OB→的取值范围是-34,0。 10分
（Ⅲ）证明：因为直线OB的方程为y=y2x2x， 11分
所以点D的坐标为x1,x1y2x2。 12分
设线段AD的中点为N(x0,y0)，则x0=x1，y0=y12+x1y22x2， 13分
则
14分
所以点N(x0,y0)在直线x+y=0上，故线段AD的中点在一条定直线上。 17分
【评分细则】
【1】第（1）问中，未求的值，得到后，直接得到的方程为，不扣分。
【2】第（2）（Ⅰ）问中，未写，扣1分；第（2）（Ⅲ）问中，也可以写为。
【评分细则】
【1】第（1）问中，联立方程组消去后，解得（舍去）或，则，这样写不扣分.
【2】第（2）问中，的取值范围也可以写为.
【3】第（3）问中，只要证明，即可给2分.
19．
（1）解：设 的公差为 的公比为 ，则 1分解得 或 3 分
因为 ，所以 ，所以 2分
故 ． 4 分
（2）解：设 ，则 ． 5 分 等价于 ．
若 ，则 ，所以 单调递增， ，符合意． 6分
若 ，则 在 上有唯一零点 ，7分
当 时， ，则 单调递减， ，不符合题意．8分
综上， 的取值范围是 ．9分
（3）证明：先证当 时， ．
设 ，令 ，得 ，即 ，即 ，即 ．
当 时， ，所以当 时， ．11分
因为 ，且当 时， ，所以 ．
．12分
由（2）可知，当 时， ，即 ，
取 ，可得 ．14分
当 时， ，15分
所以 .17分