2025-2026学年上海进才高一上学期数学期末试卷（含答案）

进才中学2025~2026学年高一上学期期末考试
2026.01
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1.函数的定义域为______．
2.已知，则______．
3.幂函数在上为减函数，则_________．
4.已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为______．
5.不等式的解集为___________．
6.已知角终边上一点，则______．
7.设集合，，若，则______．
8.已知，，则的取值范围是______．
9.已知，且，则的最大值是______．
10.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是______．
11.已知有实数解，则的最大值为______．
12.已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.若，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
15.函数的部分图像大致是（ ）
16.已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知，，其中．
（1）求；（2）求．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数．记集合为的定义域．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，求函数的值域．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
为了更高效地处理校园内的突发情况，某校决定在学校门口右侧搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为米．现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价关于的函数关系为．
（1）设公司甲整体报价为元，试求关于的函数解析式；
（2）若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
20.（本满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）记不等式的解集为，若，求实的取值范围．
21，（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数的定义域为．若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质．
（1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明）
（2）若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件；
（3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.； 8.； 9.； 10.； 11. 12..
11. 已知有实数解，故的最大值为_________．
【答案】
【解析】当时，原不等式可化为，即在时有解，∴；当时，；
当时，原不等式可化为，即在时有解，∴；当时，解得；
当时，原不等式可化为，即在时有解，
∴；当时，解得.
综上所述：，故的最大值为．
12.已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】作出函数的图像如右所示.
再令，则方程可化为：.
令，结合的图像可知：
当时，显然不符合题意；
当时，要使原方程有6个实数根，只需在和上各有一个根；或在上有两个互异实根.
据此可得：①或②或③.
①无解；由②得；由③得，此时另一根符合题意.
综上可知：的取值范围是．
二、选择题
13，A 14，A 15，A 16，B
16.已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】因为对任意，都有.
令，则有，解得，从而得；
令，则有，所以，即，所以对任意恒成立，所以，所以，所以当时，.
又因为，所以当时，方程无解；
所以，所以的值域为.
当时，，此时方程无解；
分别作出和的部分图像，如图所示：
当时，令，解得或，
此时方程有2个解，由此可得两函数图像有7个交点，即方程有7个解，故选B．
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
18.【答案】（1）奇函数；（2）.
19.【答案】（1）；（2）乙公司.
20，（本满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）记不等式的解集为，若，求实的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）根据题意，分2种情况讨论：
①当，即时，，不合题意；
②当，即时，不等式的解集为，
即解集为，即，
即，解可得.
综合可得：，故的取值范围为；
（2）根据题意可得：，即，即.
①当，即时，解集为；
②当，即时，.
此时，∴解集为；
③当，即时，.
此时，∴解集为.
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；
（3）根据题意，，即恒成立，所以.
设，则，变形可得，.
∵，当且仅当时取等号，∴当且仅当时取等号，
∴当时，，必有，即的取值范围为．
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数的定义域为．若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质．
（1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明）
（2）若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件；
（3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值．
【答案】（1）不具有性质，具有性质；（2）证明见解析；（3）或．
【解析】（1）不具有性质具有性质，理由如下：
因为指数函数的定义域为，对于恒成立，所以不存在满足，因此函数不具有性质；
因为一次函数的定义域为，对于，取，则，因此具有性质．
（2）证明：当时，由于函数具有性质，取，则存在，使得，所以，因此函数存在零点，即充分性成立；
当函数存在零点时，设，则，因为对于任意，取，则，且满足，所以函数具有性质，但1，即必要性不成立；
因此“”是“函数存在零点”的充分非必要条件．
（3）依题意可知：存在唯一的实数，使得函数具有性质，即存在唯一的实数，对任意，都存在满足，即.
因为，则，故.
记的值域为，则.
当时，，即，所以，得，显然不唯一，不符合题意；
当时，的对称轴为，.
当，即时，在上递增，所以，所以，得. 由于唯一，所以，解得，不符合题意；
当，即时，在上递增，所以，则，得. 由于唯一，所以，解得，符合题意；
当，即时，的最大值是，最小值是，则，所以，得. 由于唯一，所以，解得，不符合题意；
当，即时，的最大值是，最小值是，则，所以，得.
由于唯一，所以，解得（舍去），满足题意；
综上所述：或．