八年级数学下册人教版 第十九章《二次根式》章节测试卷（含答案）

第十九章《二次根式》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式，不能与合并的是（）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
4．估计的值应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
5．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．当时，代数式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．若，，则的值用a，b可以表示为（　　）
A． B． C． D．
9．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
10．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（　　）
A．1 B．4 C． D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．比较大小： （填“”“ ”“”）
13．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
14．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ．
15．实数x、y满足，则yx＝ ．
16．观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．计算：
(1) (2)
18．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且．
(1)求的值；
(2)化简．
19．海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．
如图，在 ABC中，，，．求 ABC的面积．
20．已知，，分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
21．若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”．
(1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值．
(2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值．
22．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分）
化简：．
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：．
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简．
23．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化．
方法应用：
(1)化简：______________；
(2)若，求的值；
(3)若，比较a和b的大小．
24．【观察思考】
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；
第4个等式： ；……
【规律发现】
（1）①直接写出第4个等式： ；
②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ．
【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简：．
25．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索：
设（其中x，y，m，n均为正整数），则有，
∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：
(1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y：
______，______；
(2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值；
(3)①填空：______；
②化简：．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故选B．
2．C
解：∵，
∴与合并的二次根式必须化简后含有．
对于A∶，含有，可合并．
对于B∶，含有，可合并．
对于C∶，含有，不含有，不可合并．
对于D∶，含有，可合并．
故选：C．
3．D
解：对于选项A：不是同类二次根式，不能直接合并，该项错误；
对于选项B：，该项错误；
对于选项C：，该项错误；
对于选项D：，该项正确．
故选D．
4．B
解：，
∵，
∴，
∴，
∴估计的值应在2到3之间．
故选：B．
5．A
解：，无法再开方，它们是最简二次根式；
，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式；
则最简二次根式共2个，
故选：A
6．C
解：∵，
∴原方程化为，
又∵，
∴，即，
当时，，
∴ ，等式成立，
故的取值范围是．
故选：C．
7．C
解：，
当时，原式．
故选：C．
8．C
解：，，
．
故选：C．
9．D
解：∵矩形的长为，面积为，
∴矩形的宽为，
∵， ，且
∴，
∴正方形的最大边长为，
∴正方形的最大面积为，
故选：D
10．B
解：由题意得，
．
故选：B．
二、填空题
11．2
解：．
故答案为：2．
12．
解：，，
由于，
所以．
故答案为：．
13．
解： 与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得
故答案为：．
14．
解：三角形三边长分别为、、，
，即，
，
故答案为：．
15．3
解：由有意义，得
，即，
解得，
∴．
则．
故答案为：3．
16．（）
解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为，
验证：左边，
右边，
左右相等，故规律成立，
因此，用含自然数的等式表示为（）．
故答案为：（）．
三、解答题
17.（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
；
（2）解：
．
19．解：∵，，，
∴，
．
20．（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴
．
21．（1）解：由题意可得：，
∴．
（2）解：由题可得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（1）∵，
∴，
∴，
∴原式，
，
，
．
（2）∵实数在数轴上的位置如图所示，
∴，，
∴原式，
，
．
23．（1）解：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：，，
，
，
．
24．解：（1）①
故答案为：．
②
故答案为：．
（2）证明：等式左边
又，
右边，
等式成立
（3）原式
25．（1）解：，
∴，；
（2）解：，
∴，，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴当时，，
此时，；
当时，；
此时，；
∴或；
（3）解：①；
②
．