8.2 特殊的平行四边形 第2课时 矩形的判定 课件（共22张PPT）2026新苏科版八年级数学下册

(共22张PPT)
第八章 四边形
8.2 特殊的平行四边形
第2课时 矩形的判定
矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
矩形的四个角都是直角，对角线相等．
反过来，一个四边形满足哪些条件就一定是矩形呢
B
A
D
C
O
矩形具有哪些性质？
如果四边形四个角都是直角，这个四边形是矩形吗？
如图，在四边形ABCD中，
∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴ ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴ AD∥BC，AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∵ ∠A＝90°，
∴ 四边形ABCD是矩形．
B
A
D
C
如果四边形有三个角是直角，这个四边形是矩形吗？
B
A
D
C
如果四边形有三个角是直角，根据其内角和是360°，可知它的第四个角也是直角．
如果四边形有两个角是直角，这个四边形是矩形吗？
矩形的判定定理1：
三个角是直角的四边形是矩形．
符号语言：
如图，在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴ 四边形ABCD是矩形．
B
A
D
C
对角线相等的平行四边形一定是矩形吗？
观察下图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形．
如何证明呢？
证法1：∵ AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，
∴ △ABC≌△DCB，
∴ ∠ABC＝∠DCB．
又 ∵ AB∥CD，
∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°，
∴ ∠ABC＝90°．
∴ ABCD是矩形．
已知：如图，在 ABCD中，AC＝DB．求证： ABCD是矩形．
A
D
B
C
O
已知：如图，在 ABCD中，AC＝DB．求证： ABCD是矩形．
A
D
B
C
O
证法2：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．
∵ AC＝DB，
∴ OA＝OB＝OC，
∴ ∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB．
又∵ ∠OAB＋∠OBA＋∠OBC＋∠OCB＝180°，
∴ ∠OBA＋∠OBC＝90°．即 ∠ABC＝90°.
∴ ABCD是矩形．
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形．
B
A
D
C
符号语言：
如图，在 ABCD中，
∵ AC＝BD，
∴ 四边形ABCD是矩形．
对角线相等的四边形是矩形吗？
对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
A
B
C
D
四边形ABCD
有三个角是直角
B
D
ABCD
A
C
B
A
D
C
矩形ABCD
有一个角是直角
对角线相等
判断一个四边形是矩形有哪些方法？
例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，DE，DF分别是△BDC，△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
E
F
D
C
A
B
证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝DA＝DB．
∵DF平分∠ADC，
∴DF⊥AC，
即∠DFC＝90°．
同理可得∠DEC＝90°．
∴四边形DECF是矩形（矩形的判定定理1）．
例2 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
B
A
D
C
O
E
证明：连接OE．
∵ O是AC，BD的中点，
∴ AO＝CO， BO＝DO，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
在Rt△AEC中，∵ O是AC的中点，∴ EO＝AC．
在Rt△BED中，∵ O是BD的中点，∴ EO＝BD．
∴ AC＝BD．
∴ ABCD是矩形（矩形的判定定理2）．
1. 如图， ABCD的四个内角平分线分别相交于E、F、G、H，四边形EFGH是怎样的特殊四边形吗？证明你的结论．
B
A
D
C
E
F
G
H
证明：四边形 EFGH是矩形．证明如下:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°.
又∵ AE平分∠BAD，BE 平分∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝90°.
∴ ∠AEB＝90°.
∴ ∠HEF＝90°.
同理 ∠EFG＝∠FGH＝90°.
∴ 四边形EFGH是矩形（矩形的判定定理1）．
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E，F，G，H分别在OA，OB，OC，OD上，且AE＝BF＝CG＝DH．
求证：四边形EFGH是矩形．
A
B
C
D
O
E
F
G
H
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA＝OB＝OC＝OD．
∵ AE＝BF＝CG＝DH，
∴ OE＝OF＝OG＝OH．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
∵ OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH．
∴ 四边形EFGH是矩形（矩形的判定定理2）．
解：∵ AB⊥l2，DC⊥l2，
∴ AB∥DC．
又 ∵ l1∥l2，
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
∴ AB＝DC．
　 如图，l1∥l2 ，A，D是l1上的任意两点，AB⊥l2 ，DC⊥ l2 ，垂足分别为B，C．线段AB，DC相等吗？为什么？
A
C
B
D
l2
l1
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离．
A
C
B
D
l2
l1
符号语言：
∵ 直线l1∥l2，A，D是直线上l1任意两点，
AB⊥l2，DC⊥l2 ，垂足分别为B、C．
∴ AB＝DC．
两条平行线之间的距离处处相等．
3. 如图，AB与直线l平行．当点C在l上移动时，△ABC的面积是否为定值？为什么？
C
B
A
l
解：△ABC的面积为定值．
理由如下：
设AB与直线l之间的距离为h，易知h为定值．
∵△ABC的面积＝AB×h，AB和h均为定值，
∴△ABC的面积为定值．
变式 如图，AD∥BC，AC与BD相交于O点，面积相等的两个三角形是______________________________________________．
A
C
B
D
O
S△ABC＝S△DBC
S△AOB＝S△DOC
S△ABD＝S△ACD
课堂小结
矩形的判定
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
矩形的判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
两条平行线之间的距离
感谢聆听！