8.2 特殊的平行四边形 第5课时 正方形的判定与性质 课件（共16张PPT）2026新苏科版八年级数学下册

(共16张PPT)
第八章 四边形
8.2 特殊的平行四边形
第5课时 正方形的判定与性质
在下面的图片中，我们可以找到熟悉的正方形吗？
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形（square）.
菱形
矩形
B
A
D
C
注意：正方形既是菱形，又是矩形．
正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系？在下图的括号中分别填写恰当的条件．
一般
四边形
平行
四边形
矩形
正方形
菱形
(有一个角是直角)
(有一组邻边相等)
(有一组邻边相等)
(有一个角是直角)
(有一组邻边相等且有一个角是直角)
正方形的判定定理：
有一组邻边相等的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．
B
A
D
C
符号语言：
∵AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
∵∠ABC＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
1. 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形．
B
A
D
C
O
已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
且AC⊥BD．
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ BO＝DO．
又∵ AC⊥BD，
∴ AB＝AD．
∴ 矩形ABCD是正方形．
2. 求证：对角线相等的菱形是正方形．
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
且AC＝BD．
求证：菱形ABCD是正方形．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵ AC＝BD，
∴ AO＝BO．
∵ AC⊥BD，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
同理：∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
B
A
D
C
O
B
D
平行四边形
A
C
有一个角是直角
对角线相等
B
A
D
C
矩形
有一组邻边相等对角线垂直
B
A
D
C
正方形
有一组邻边相等对角线垂直
B
A
D
C
菱形
有一个角是直角
对角线相等
有一组邻边相等并且有一个角是直角
A
B
C
D
四边形
有三个角是直角
A
B
C
D
四边形
四边相等
例5 如图，在正方形ABCD中，点A′，B′，C′，D′分别在边AB，BC，CD，DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
1
2
3
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，
∴DA′＝A′B＝B′C＝C′D，
∴△AA′D′≌△BB′A≌△CC′B′≌△DD′C′，
∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′，
∴四边形A′B′C′D′是菱形．
由△AA′D′≌△BB′A′，可得∠2＝∠3，
∵∠A＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠D′A′B′＝90°，
∴四边形A′B′C′D′是正方形．
还有其他方法吗？
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.正方形具有哪些性质呢？
正方形的性质定理：
正方形的四条边相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等且互相垂直平分．
符号语言：
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB＝BC＝CD＝DA，
∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
AC＝BD，AC⊥BD，
OA＝OB＝OC＝OD．
B
A
D
C
O
1. 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打 “√”．
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
是中心对称图形
是轴对称图形
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2. 如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF＝DE．连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
证明：连接AC，AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD．
∵BF＝DE，
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴四边形AFCE是菱形．
O
3. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．求证：DE＝CF．
A
B
C
D
E
F
证明：连接BF．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，BC＝DC，
∴∠BDC＝45°．
在△DEF中，EF⊥BD，∠BDC＝45°，
∴∠EFD＝45°．
∴ EF＝DE．
易证△BEF≌△BCF，
∴ EF＝CF．
∴ DE＝CF．
课堂小结
正方形的
性质与判定
四条边相等，四个角都是直角的四边形．
正方形的四条边相等，四个角都是直角.
判定
性质
有一组邻边相等的矩形是正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
正方形的对角线相等目互相垂直平分．
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，有四条对称轴．
感谢聆听！