9.3 公式法 第3课时 因式分解方法的综合运用 课件（共17张PPT）2026新苏科版八年级数学下册

(共17张PPT)
第九章 因式分解
9.3 公式法
第3课时 因式分解方法的综合运用
因式分解有哪些方法？
提公因式法：
ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d)
定系数(先定符号)→定字母→定次数
公式法：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
变形→分解→化简
公式中的字母可以是具体的数，也可以是任意的单项式或多项式．
例6 把下列各式分解因式：
(1) 18a2－50； (2) 2x2y－8xy＋8y；
解：(1)原式＝2(9a2－25)
＝2(3a＋5)(3a－5)；
(2)原式＝2y(x2－4x＋4)
＝2y(x－2)2；
(3) a2(x－y)－b2(x－y)．
(3) 原式＝(x－y) (a2－b2)
＝(x－y)(a＋b) (a－b)．
方法总结
1. 提：有公因式的先提出公因式；
2. 套：提出公因式后，如果能套用公式的(两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式)，要继续分解因式；
3. 查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底．
因式分解的一般步骤：
典例分析
(1) a4－16；
例7 把下列各式分解因式：
解：(1)原式＝(a2)2－(42)2
＝(a2＋4) (a2－4)
＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)；
—平方差公式
—检查分解是否彻底
—平方差公式
—写成平方差公式形式
(2) 81x4－72x2y2＋16y4．
例7 把下列各式分解因式：
解：(2)原式＝(9x2)2－2 9x2 4y2＋(4y2)2
＝(9x2－4y2)2
＝[(3x＋2y)(3x－2y)]2
＝(3x＋2y)2(3x－2y)2．
—写成完全平方公式形式
—完全平方公式
—平方差公式
—积的乘方
—检查分解是否彻底
1．把下列各式分解因式：
(1) 2x2＋4x＋2； (2) －2xy－x2－y2；
(3) 2ax2－2ay4； (4) (a＋b)－ a2(a＋b)；
(5) 3ax2＋6axy＋3ay2； (6) 12x2－60xy＋75y2．
解：原式＝2(x＋1)2；
原式＝－(x＋y)2；
原式＝2a(x＋y2)(x－y2)；
原式＝(a＋b)(1－a)(1＋a)；
原式＝3a(x＋y)2；
原式＝3(2x－5y)2．
1．把下列各式分解因式：
(1) x4－81； (2) (x2－2y)2－(1－2y)2；
(3) x4－2x＋1； (4) x4－8x2y2＋16y4；
(5) (t2＋4t＋4)－9u2； (6) 25u2－(9v2－6v＋1)．
解：原式＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)；
原式＝(x2－4y＋1)(x＋1)(x－1)；
原式＝(x＋1)2(x－1)2；
原式＝(x＋2y)2(x－2y)2；
原式＝(t＋2＋3u)(t＋2－3u)；
原式＝(5u＋3v－1)(5u－3v＋1)．
思考：x2＋8x－9＝(x＋4)2－52成立吗？你能将x2＋8x－9分解因式吗？
成立．
x2＋8x－9
＝x2＋2·x·4＋42－42－9
＝(x＋4)2－52
＝(x＋4＋5)(x＋4－5)
＝(x＋9)(x－1)．
解：
运用分解因式4x2－4x＋1的结果，对4x2－4x－15进行因式分解．
解：4x2－4x－15
＝(2x)2－2·2x·1＋12－12－15
＝(2x－1)2－42
＝[(2x－1)＋4][(2x－1)－4]
＝(2x＋3)(2x－5)．
解： (1) 4x2－20xy＋25y2
＝(2x)2－2·2x·5y＋(5y)2
＝(2x－5y)2．
∵ x＝，y＝，
∴ 原式＝(2×－5× )2＝(－1 )2＝．
例8 先分解因式，然后计算求值：
(1) 4x2－20xy＋25y2，其中x＝，y＝．
例8 先分解因式，然后计算求值：
(2) 已知a－b＝，ab＝8，求－2a2b2＋ab3＋a3b的值．
解： (2) －2a2b2＋ab3＋a3b
＝ab(a2－2ab＋b2)
＝ab(a－b)2．
∵ a－b＝，ab＝8，
∴ 原式＝8×＝2．
先分解因式，然后计算求值：
(1) －，其中m＝－，n＝2．
解： (1) －＝＝mn．
∵ m＝－，n＝2，
∴ 原式＝－×2＝－．
先分解因式，然后计算求值：
(2) 已知a＋b＝7，ab＝12，求2a2b＋2ab2的值．
解： (2) 2a2b＋2ab2
＝2ab(a＋b)．
∵ a＋b＝7，ab＝12，
∴ 原式＝2×12×7＝168．
例1 已知m＞0，且m是奇数．求证：m2－1能被8整除．
解：∵m＞0，且m是奇数，
∴可设m＝2n＋1，n≥0，n为整数，
∴ m2－1＝(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)，
∵n≥0，∴n＋1≥1，
当n为奇数时，n＋1为偶数，n(n＋1)为偶数，
当n为偶数时，n＋1为奇数，n(n＋1)为偶数，
∴n(n＋1)能被2整除，
∴4n(n＋1)能被8整除，即m2－1能被8整除．
例2 准备若干块如图(1)～(3)所示的矩形硬纸片．
(1) 分别用多少块如图(1)～(3)所示的纸片才能拼成一个边长为a＋2b，a＋b的矩形？
(2) 利用上述拼图的结果，分解因式a2＋3ab＋2b2．
a
a
b
b
a
b
(1) (2) (3)
解：(1)∵拼成的边长为a＋2b，a＋b的矩形
的面积为(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2，
∴用3块图(1)，1块图(2)，2块图(3)才能拼成
一个边长为a＋2b，a＋b的矩形；
(2) a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)．
课堂小结
因式分解方法的综合运用
一般步骤：一提→二套→三检查
应用
计算求值
恒等变形
感谢聆听！