江苏南通市海安市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏南通市海安市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
高二数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.1与9的等比中项为（ ）
A. B.4
C.5 D.
2. 椭圆的长轴长为（ ）
A. B.2
C. D.4
3. 已知函数，则（ ）
A.0 B.
C. D.1
4. 设点、、，线段的中点为，则（ ）
A. B.
C.6 D.7
5. 两条平行直线与之间的距离为（ ）
A. B.2
C. D.4
6. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设数列满足，且，则数列的前9项和为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，，记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设等差数列的前项和为，，，则（ ）
A.0是数列的项
B. 数列是递减数列
C.
D. 的最大值为8
10. 已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，至多有一个零向量
B. 也是空间的一个基底
C. 空间任一向量均可用唯一线性表示
D. 若，其中，则
11. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过的直线与相交于两点、，直线与交于点，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调减区间为____.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直x轴的直线与一条渐近线的交点为，，则C的离心率为______.
14. 智能驾驶系统的目标识别失误率通过数据迭代持续降低，设第n轮迭代后的失误率为，初始失误率，且，则______；至少需要____轮迭代后，可使得失误率不超过0.1%.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆M的圆心为，点、、恰好一个在圆外，一个在圆上，一个在圆内.
（1）求圆M的标准方程；
（2）求过点B的圆M的切线方程.
16. 已知函数.
（1）求的极小值；
（2）求和：.
17. 已知椭圆的离心率为，左顶点为.
（1）求C的标准方程；
（2）设P、Q两点在C上，且线段PQ的中点为.
（i）当时，求直线PQ的方程；
（ii）当直线PQ的斜率存在时，证明：直线AM与直线PQ的斜率之积为定值.
18. 已知是首项为1的递增数列，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）数列的前n项和为，且.
（i）求，并判断、、是否是等差数列；
（ii）将数列的前项中任意两项相乘求积，求所有积的和S.
19. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的最大值；
（3）方程的解记为，证明：.
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．C
5．A
6．C
7．B
8．B
9．BC
10．BCD
11．ABD
12.
13.
14.2 4
15.（1）
（2）或
（1）由题意可得，，
，所以，
由题意可知圆的半径为，故圆的标准方程为。
（2）若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时圆心到该直线的距离为，不符合题意；
所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
由于圆心到切线的距离为，则，解得，
故所求切线的方程为或，即或.
16.（1）
（2）
（1）因为，所以，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
可得的极小值为.
（2）由已知得，
设
则，
，
两式相减可得，
则，即，
故.
17.
（1）由题意可得，所以，故椭圆的标准方程为.
（2）（i）设点、，则，，
所以，，
当时，则，，
若直线的斜率不存在，此时轴，则、关于轴对称，则的中点在轴上，不符合题意，
所以直线的斜率存在，由，这两个等式作差得，
所以，即，
故直线的方程为，即；
（ii）由（i）可知当时，直线的斜率存在，
由（i）可知，
因为，，
所以.
18.（1）因为是首项为1的递增数列，则对任意的，，
当且时，由可得，
所以，故对任意的且，为非零常数，
故数列为等比数列.
（2）（i）由（1）可知，数列是单调递增的等比数列，
且对任意的，，设其公比为，则，
所以，整理可得，解得或（舍去），
所以，所以，
.
所以、、成等差数列；
（ii）由（i）可得，由题意可得，
因为，
所以，
因为，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，
所以，
所以.
19.（1），，又，
所以切线方程为，即．
（2）题意等价于：当时，恒成立，
令，则，求导可得，
当时，在内，，故，
因此在上单调递增，，满足条件；
当时，令，即，存在使得，
在上，，单调递减，此时，不满足条件；
综上，实数的最大值为1．
（3）已知，依题意即证，
因为，所以，
令，，则，
，
分母 ，
分子 ，
又 则 时，，， 单调递增，
时，，， 单调递减，
而 ，，
令 ， 则 ，，
所以 在 上单调递增，， 所以 ，
又 ，
， 所以 ， 也即 ，
所以 成立，也即 成立，得证.
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.1与9的等比中项为（ ）
A. B.4
C.5 D.
2. 椭圆的长轴长为（ ）
A. B.2
C. D.4
3. 已知函数，则（ ）
A.0 B.
C. D.1
4. 设点、、，线段的中点为，则（ ）
A. B.
C.6 D.7
5. 两条平行直线与之间的距离为（ ）
A. B.2
C. D.4
6. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设数列满足，且，则数列的前9项和为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，，记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设等差数列的前项和为，，，则（ ）
A.0是数列的项
B. 数列是递减数列
C.
D. 的最大值为8
10. 已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，至多有一个零向量
B. 也是空间的一个基底
C. 空间任一向量均可用唯一线性表示
D. 若，其中，则
11. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过的直线与相交于两点、，直线与交于点，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调减区间为____.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直x轴的直线与一条渐近线的交点为，，则C的离心率为______.
14. 智能驾驶系统的目标识别失误率通过数据迭代持续降低，设第n轮迭代后的失误率为，初始失误率，且，则______；至少需要____轮迭代后，可使得失误率不超过0.1%.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆M的圆心为，点、、恰好一个在圆外，一个在圆上，一个在圆内.
（1）求圆M的标准方程；
（2）求过点B的圆M的切线方程.
16. 已知函数.
（1）求的极小值；
（2）求和：.
17. 已知椭圆的离心率为，左顶点为.
（1）求C的标准方程；
（2）设P、Q两点在C上，且线段PQ的中点为.
（i）当时，求直线PQ的方程；
（ii）当直线PQ的斜率存在时，证明：直线AM与直线PQ的斜率之积为定值.
18. 已知是首项为1的递增数列，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）数列的前n项和为，且.
（i）求，并判断、、是否是等差数列；
（ii）将数列的前项中任意两项相乘求积，求所有积的和S.
19. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的最大值；
（3）方程的解记为，证明：.
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．C
5．A
6．C
7．B
8．B
9．BC
10．BCD
11．ABD
12.
13.
14.2 4
15.（1）
（2）或
（1）由题意可得，，
，所以，
由题意可知圆的半径为，故圆的标准方程为。
（2）若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时圆心到该直线的距离为，不符合题意；
所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
由于圆心到切线的距离为，则，解得，
故所求切线的方程为或，即或.
16.（1）
（2）
（1）因为，所以，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
可得的极小值为.
（2）由已知得，
设
则，
，
两式相减可得，
则，即，
故.
17.
（1）由题意可得，所以，故椭圆的标准方程为.
（2）（i）设点、，则，，
所以，，
当时，则，，
若直线的斜率不存在，此时轴，则、关于轴对称，则的中点在轴上，不符合题意，
所以直线的斜率存在，由，这两个等式作差得，
所以，即，
故直线的方程为，即；
（ii）由（i）可知当时，直线的斜率存在，
由（i）可知，
因为，，
所以.
18.（1）因为是首项为1的递增数列，则对任意的，，
当且时，由可得，
所以，故对任意的且，为非零常数，
故数列为等比数列.
（2）（i）由（1）可知，数列是单调递增的等比数列，
且对任意的，，设其公比为，则，
所以，整理可得，解得或（舍去），
所以，所以，
.
所以、、成等差数列；
（ii）由（i）可得，由题意可得，
因为，
所以，
因为，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，
所以，
所以.
19.（1），，又，
所以切线方程为，即．
（2）题意等价于：当时，恒成立，
令，则，求导可得，
当时，在内，，故，
因此在上单调递增，，满足条件；
当时，令，即，存在使得，
在上，，单调递减，此时，不满足条件；
综上，实数的最大值为1．
（3）已知，依题意即证，
因为，所以，
令，，则，
，
分母 ，
分子 ，
又 则 时，，， 单调递增，
时，，， 单调递减，
而 ，，
令 ， 则 ，，
所以 在 上单调递增，， 所以 ，
又 ，
， 所以 ， 也即 ，
所以 成立，也即 成立，得证.
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