江苏省苏州市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题（含答案）

高二数学试卷
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线的一个方向向量为，，则的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某班级20名学生参加数学测验的得分如下：62，65，68，70，71，73，75，75，77，78，79，81，82，85，87，89，90，92，95，98，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A．87 B．88 C．89 D．90
4．在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，，则（ ）
A．511 B．512 C．1023 D．1024
5．在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否
经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ）
A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3
7．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．64 B．127 C．256 D．511
8．在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，，上有一点位于第一象限，线段交轴于点，，若为的角平分线，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若的各项均为正数，则一定是递增数列
B．若是常数数列，则一定是常数数列
C．若是等差数列，则可能是等差数列
D．若是等比数列，则可能是等比数列
10．现有一枚质地均匀的骰子，甲、乙两人各掷一次，设事件“甲掷得的点数为奇数”，“甲掷得的点数为偶数”，“两人掷得的点数之和为奇数”，“两人掷得的点数之和大于8”，则（ ）
A．与互为对立事件
B．与相互独立
C．与互斥
D．
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点
（）的直线与交于，两点，直线，分别交于，两点．记，，面积为，面积为，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．当时，为锐角
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若样本数据，，，，的平均数为，则这组数据的极差为____．
13．在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，的中点为，则的最大值为____．
14．在数列中，已知，（），则的前项和的最小值为____．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列为等差数列，，，．
（1）若，，成等比数列，求正整数的值；
（2）记（），求数列的前项和．
16．某学校对高一年级全体学生进行了“每日体育活动时长”的问卷调查（单位：小时），收集到的数据分成组：，，，，，得到如下频率分布直方图：
（1）若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育活动时长的平均值；
（2）规定：“每日体育活动时长不少于小时”为达标，现从全体参加问卷调查的学生中随机抽取一个容量为的样本．
①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数；
②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在，的学生中，采用分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人出来访谈，求被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在的概率.
17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，直线与圆：相切且与交于，两点.
（1）求的标准方程；
（2）求证：；
（3）求的最小值.
18. 已知数列的前项和为，，（）.
（1）求的值；
（2）判断数列是否为等比数列？说明理由，并据此求出的通项公式；
（3）记（），数列的前项和为，若存在，使得，求实数的最大值.
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为，，，过作互相垂直的两条直线，，交的左支于，两点，交的两支于，两点，线段，的中点分别为，．记直线的斜率为（），，的面积分别为，.
（1）求的标准方程；
（2）求证：为定值；
（3）当时，求的取值范围．
参考答案
1．D
2．A
3．B
4．C
5．B
6．A
7．B
8．C
9．AC
10．ABD
11．ACD
13．
14．
15.(1)
（2）
（1）因为数列为等差数列，设公差为，
由
或6，
当时，，当时，，不满足，故舍去；
所以，，；。
若，，成等比数列，
则，
当时，，解得；因为是正整数，所以舍掉；
当时，，解得；
（2），
则①，
①×3得②．
① ②得
；
所以．
16．(1)1
（2）①90；②
（1）；
（2）①“每日体育活动时长不少于1小时”的频率为，
则容量为200的样本中，学生达标人数为人；
②时长在，的学生的频率比为3：1，
所以采用分层抽样的方法随机抽取4人中，
有3人在组中，设这3人为，，，
有1人在组中，设这一人为，
从这4人中抽取2人的事件共有6种，
其中恰有1人活动时长在的事件有3种，
所以被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在的概率为．
17．
（1）因为椭圆的上顶点为，所以，
又因为离心率，即，
所以，则．
所以椭圆方程为；
（2）①若直线斜率不存在，
不妨为，代入椭圆方程可解得，
可得，．
所以，所以
②若直线斜率存在，设直线方程为，，，
因为直线与圆相切，
则圆心到直线距离，
联立直线方程与椭圆方程
化简整理得，．
，，
所以
（3）因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离。
由（2）知，为直角三角形。
由等面积法得，
则
则可得
因为，当且仅当时取等，
所以
得。故，
即的最小值为。
18.(1)3
（2）不是等比数列，
（3）
（1）在中，令得，
（2）数列不是等比数列
理由：因为，则
两式相减得．
则，则，
因为，．所以当时，上式不成立，
所以数列不是等比数列，
而当时，，．
所以，，
所以，．
所以．
（3）法：由（2），则．
故．
．
则
故的最大值为．
法2：由（2），则，
则
所以
当为偶数时，
所以，存在正偶数使之成立，
显然当时，有最大值，即；
当为奇数时，
所以，存在正奇数使之成立，
显然当时，有最大值，即；
综上，若存在，使得，则，即实数的最大值为
19.
（1）根据题意可知，解得，，，
所以的标准方程为
（2）证明：设：，：，， .
，，即
设：，代入得：
整理得：，同理：.
则，为方程，所以
得：，故：，恒过定点.
所以；
（3）由（2）
.
因为，在左支，，在左右两支，
渐近线为，故，又，故.
故.
，解得：。
。