江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高二数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高二数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 52.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测
高二数学试题
（本试题共4页满分150分 考试时间120分钟）
一、单项选择题（共8小题满分40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“，，成等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，则（ ）
A.0 B.
C.1 D.2025
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为在第一象限内的点，且，点关于轴的对称点为，若为等边三角形．则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，若关于的方程恰好有4个
不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（共3小题满分18分）
9．设为坐标原点，已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，则（ ）
A．
B．直线的斜率的取值范围为
C．
D．
10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和
11．定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共3小题满分15分）
12．已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为____．
13．已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是____．
14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为____．
四、解答题（共5大题满分77分）
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且。
（1）求；
（2）若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积。
16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上。
（1）求圆的方程；
（2）若直线：（）与圆相交于，两点，且，求。
17. 已知递增数列满足，点在函数的图象上。
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和。
18. 如图，圆的半径为，是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线。
（1）求的方程；
（2）过上的一点作的切线交圆：于不同的两点，。
（i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ii）求面积的最大值。
19. 已知函数，。
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，证明：。
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．A
5．D
6．B
7．B
8．B
9．AC
10．BCD
11．AD
12.
13.
14.
15.（1）；
（2）
16.（1）
（2）或．
（1）设，因为圆心在直线上，所以．①
因为圆经过点和，所以圆心到点，的距离相等，
所以，展开并化简得．②
联立①②，解得，，所以圆心．
因为圆心和点均在直线上，
所以半径，
所以圆的方程为．
（2）设圆心到的距离为，
则，即，得．
由点到直线的距离公式得．
所以，两边平方，整理得，
解得或．
17．（1）证明见解答
（2）
（1）因为，
所以当时，
又因为点在函数的图象上，
所以，
所以
所以数列是首项为，公差为的等差数列
（2）由（1）可知，，
所以，
所以
所以
所以
即
18.（1）
（2）（i）定值，；（ii）
（1）由题意可知：，，
则，
可知动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，
所以曲线的方程为.
（2）（i）联立方程，消去可得，
因为直线与曲线相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，为定值；
（ii）由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离
，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值。
19.(1)
(2)
（3）证明见解析
（1）当时，，求导得，
，，
曲线在点处的切线方程为.
（2）恒成立，即，即恒成立，
令，则.
令，则，
单调递减，又，
当时，，当时，，
即时，，单调递增；
时，，单调递减.
，故.
（3）要证，，
即证，，
令，
则，令，
，
在单调递增，
又，，
，使得，
即，故，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
时，恒成立，得，
，
又，，
故，
，时，。
高二数学试题
（本试题共4页满分150分 考试时间120分钟）
一、单项选择题（共8小题满分40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“，，成等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，则（ ）
A.0 B.
C.1 D.2025
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为在第一象限内的点，且，点关于轴的对称点为，若为等边三角形．则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，若关于的方程恰好有4个
不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（共3小题满分18分）
9．设为坐标原点，已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，则（ ）
A．
B．直线的斜率的取值范围为
C．
D．
10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和
11．定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共3小题满分15分）
12．已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为____．
13．已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是____．
14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为____．
四、解答题（共5大题满分77分）
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且。
（1）求；
（2）若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积。
16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上。
（1）求圆的方程；
（2）若直线：（）与圆相交于，两点，且，求。
17. 已知递增数列满足，点在函数的图象上。
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和。
18. 如图，圆的半径为，是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线。
（1）求的方程；
（2）过上的一点作的切线交圆：于不同的两点，。
（i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ii）求面积的最大值。
19. 已知函数，。
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，证明：。
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．A
5．D
6．B
7．B
8．B
9．AC
10．BCD
11．AD
12.
13.
14.
15.（1）；
（2）
16.（1）
（2）或．
（1）设，因为圆心在直线上，所以．①
因为圆经过点和，所以圆心到点，的距离相等，
所以，展开并化简得．②
联立①②，解得，，所以圆心．
因为圆心和点均在直线上，
所以半径，
所以圆的方程为．
（2）设圆心到的距离为，
则，即，得．
由点到直线的距离公式得．
所以，两边平方，整理得，
解得或．
17．（1）证明见解答
（2）
（1）因为，
所以当时，
又因为点在函数的图象上，
所以，
所以
所以数列是首项为，公差为的等差数列
（2）由（1）可知，，
所以，
所以
所以
所以
即
18.（1）
（2）（i）定值，；（ii）
（1）由题意可知：，，
则，
可知动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，
所以曲线的方程为.
（2）（i）联立方程，消去可得，
因为直线与曲线相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，为定值；
（ii）由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离
，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值。
19.(1)
(2)
（3）证明见解析
（1）当时，，求导得，
，，
曲线在点处的切线方程为.
（2）恒成立，即，即恒成立，
令，则.
令，则，
单调递减，又，
当时，，当时，，
即时，，单调递增；
时，，单调递减.
，故.
（3）要证，，
即证，，
令，
则，令，
，
在单调递增，
又，，
，使得，
即，故，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
时，恒成立，得，
，
又，，
故，
，时，。
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