江苏省连云港市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题（含答案）

2025～2026学年第一学期期末考试
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，，且与的夹角为，则（ ）
A.1 B.
C. D.
3. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设为实数，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则（ ）
A.1 B.2
C. D.4
6. 若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 双曲线的右焦点为，左、右顶点为，，，为虚轴的上、下端点，若点关于点的对称点在直线上，则的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.3
8. 已知数列的前项和为，，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前项和
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列运算正确的是（ ）
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
10. 若动点到轴的距离比到点的距离小，则点的轨迹方程为（）
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
11. 已知数列满足，，且，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 数列是等差数列
D. 数列中落入区间内的项数的个数为，数列的前项和为，若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：.
13. 已知两条直线和相交于点，则过两点，的直线的方程为.
14. 已知，，且恒成立，则的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15. 在中，已知，为边上一点，，，.
（1）求；
(2)求.
16. 设为实数，若直线与圆相交于，两点，弦的中点为.
（1）求的取值范围；
（2）求直线的方程.
17. 设是等差数列的前项和，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）当，时，求和：.
18. 已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求的方程；
（2）直线交于，两点，若直线不过原点，且直线，，的斜率依次成等比数列.
（i）求直线的斜率；
（ii）为的左顶点，当，位于直线的异侧时，求四边形面积的取值范围.
19. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对一切正数恒成立，求的取值范围；
（3）若，函数，证明：当时，
.
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．A
5．A
6．C
7．D
8．A
9．ACD
10．AC
11．BC
12．
14．
15.（1） ；
（2） .
（1）在中，由余弦定理，得
，
而，则，所以。
（2）在中，由正弦定理，得，
所以。
16.（1）
（2）
（1） 圆的标准方程为，
，解得，
又 点在圆内，即，解得，
的取值范围为。
(2)
圆心为与点为中点，
，
设直线的斜率为，则，解得，
直线的方程为，即。
17.
（1）是等差数列，设首项为，公差为，则。
又，
。
，（常数），
是首项为，公差为的等差数列。
（2），，
，解得，
由（1）可知，
，
。
18.（1） ；
（2）（i）；（ii）。
（1）因为焦距为且过点，
所以，得，，
所以的方程为。
（2）（i）由题意知直线的斜率存在，
设直线方程为，，，
联立，得，
，
，，
因为直线，，的斜率依次成等比数列，
所以
，
所以，得，又，所以直线的斜率为；
（ii）由（i）知，，得，
又，位于直线的异侧，结合为直线在轴上的截距，
所以时，；时，，
又直线，，的斜率存在，所以，即，
所以
，
所以，则，
所以的取值范围为.
19.
（1）由题可得，
当时，，则在上单调递增
当时，，得，
在时，，则单调递减，
在时，，则单调递增，
所以当时，在上单调递增，
当时，的单调递增区间为，递减区间为.
（2）因为在上恒成立，所以，即，
令，所以，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以当时取到最小值，所以，所以的取值范围为.
（3）由题意知，
则，所以在上单调递增，
所以，，
故存在，使得，即，
所以当时，，当时，
又，所以，
，
结合函数的单调性与端点值，可知，函数在区间内的上界为
2，故。
综上：。