江苏南通市如东县2025-2026学年第一学期高二学业质量监测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏南通市如东县2025-2026学年第一学期高二学业质量监测数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 91.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2025~2026学年度第一学期高二学业质量监测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．
2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．81种 B．64种 C．24种 D．6种
2．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
4．若实数，满足，则的最大值是（ ）
A． B．0
C． D．
5．已知数列的通项公式是，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线方程为，且经过原点，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，，均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知，分别为轴和轴上的点，点在线段的延长线上，且。当，运动时，记点的轨迹为曲线，则的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（ ）
A. 如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为
B. 如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为
C. 如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为
D. 如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为
10. 在空间四边形中，已知为的重心，，，分别为边，，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列的前项和为，且。数列满足，当时，则（ ）
A. 是等差数列
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是______．
13．一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是______m．
14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是______．若空间中点满足，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，过点的直线与相交于，，且的周长是8．
（1）求的方程；
（2）若的面积是，求的面积．
17．如图，在三棱锥中，，，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若点满足，
①求直线与平面所成角的大小；
②求二面角的正弦值．
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，，渐近线方程为．
（1）求的离心率；
（2）若点在上，且异于，，求证：直线与的斜率之积为定值；
（3）若直线与只有一个公共点，直线与轴交于点，且，求的方程．
19．已知数列满足，且．
（1）求，的值；
（2）若数列满足且，求数列的通项公式；
（3）求证：．
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．D
5．A
6．B
7．D
8．C
9．ACD
10．ABD
11．BCD
12．12
13．92
14．
15.（1）
（2）
（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得：
，解得：
因此数列的通项公式：，即。
（2）由（1），
所以①
②
①②，相减可得：
即
所以。
16.（1）
（2）
（1）因为的周长为，所以，
又，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）有，，，设，，
因为的面积是，所以，
由于，所以点为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点为下顶点，
所以直线方程为：，
所以，所以，所以或，
所以，代入得或（舍去），
所以的面积为.
17.（1）已知，，
因此、均为等边三角形，故.
又为中点，由等腰三角形三线合一得：。
由，，可知为等腰直角三角形，为中点，故。
因为，，平面，所以平面。
又平面，所以。
（2）①由，以为原点，为轴，为轴，过作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系。
则，，，由，为等边三角形，得，为中点，故。
由，，，得。
，，。
设平面的法向量，则：
令，则，，即。
设直线与平面所成角为，则：
又，故，即直线与平面所成角为。
② ，，设平面的法向量，则：
，令，则，，即。
平面法向量，设二面角为，则：
，得：。
所以二面角的正弦值为。
18.（1）双曲线的渐近线方程为，
渐近线方程为，，即，
，
．
（2）设点，在双曲线上，代入双曲线方程得，即，
直线的斜率，直线的斜率，
，故斜率之积是定值．
（3）联立直线与双曲线的方程，代入得：
，
当时，直线与双曲线相切，判别式，
即，则切点，
设，直线与轴交点，则，
即，故，
，解得，故，，
故双曲线方程为。
19.（1）因为，且，
所以，即，解得，
又，即，解得；
（2）因为，所以，
所以，
又，，所以且，
所以，
又，
两边取对数可得，
所以以为首项，2为公比的等比数列，
所以，则，
所以.
（3）因为，所以，又，
所以，
所以，
所以，
设，因为，则，
因为，所以，所以，
所以，
要证，只需证明，
以下证明对任意的成立，
当时，，成立
假设当时（且）成立，
则，即，
所以对任意的成立，
所以，
所以，
所以。
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．
2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．81种 B．64种 C．24种 D．6种
2．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
4．若实数，满足，则的最大值是（ ）
A． B．0
C． D．
5．已知数列的通项公式是，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线方程为，且经过原点，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，，均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知，分别为轴和轴上的点，点在线段的延长线上，且。当，运动时，记点的轨迹为曲线，则的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（ ）
A. 如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为
B. 如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为
C. 如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为
D. 如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为
10. 在空间四边形中，已知为的重心，，，分别为边，，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列的前项和为，且。数列满足，当时，则（ ）
A. 是等差数列
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是______．
13．一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是______m．
14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则点到平面的距离是______．若空间中点满足，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，过点的直线与相交于，，且的周长是8．
（1）求的方程；
（2）若的面积是，求的面积．
17．如图，在三棱锥中，，，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若点满足，
①求直线与平面所成角的大小；
②求二面角的正弦值．
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，，渐近线方程为．
（1）求的离心率；
（2）若点在上，且异于，，求证：直线与的斜率之积为定值；
（3）若直线与只有一个公共点，直线与轴交于点，且，求的方程．
19．已知数列满足，且．
（1）求，的值；
（2）若数列满足且，求数列的通项公式；
（3）求证：．
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．D
5．A
6．B
7．D
8．C
9．ACD
10．ABD
11．BCD
12．12
13．92
14．
15.（1）
（2）
（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得：
，解得：
因此数列的通项公式：，即。
（2）由（1），
所以①
②
①②，相减可得：
即
所以。
16.（1）
（2）
（1）因为的周长为，所以，
又，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）有，，，设，，
因为的面积是，所以，
由于，所以点为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点为下顶点，
所以直线方程为：，
所以，所以，所以或，
所以，代入得或（舍去），
所以的面积为.
17.（1）已知，，
因此、均为等边三角形，故.
又为中点，由等腰三角形三线合一得：。
由，，可知为等腰直角三角形，为中点，故。
因为，，平面，所以平面。
又平面，所以。
（2）①由，以为原点，为轴，为轴，过作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系。
则，，，由，为等边三角形，得，为中点，故。
由，，，得。
，，。
设平面的法向量，则：
令，则，，即。
设直线与平面所成角为，则：
又，故，即直线与平面所成角为。
② ，，设平面的法向量，则：
，令，则，，即。
平面法向量，设二面角为，则：
，得：。
所以二面角的正弦值为。
18.（1）双曲线的渐近线方程为，
渐近线方程为，，即，
，
．
（2）设点，在双曲线上，代入双曲线方程得，即，
直线的斜率，直线的斜率，
，故斜率之积是定值．
（3）联立直线与双曲线的方程，代入得：
，
当时，直线与双曲线相切，判别式，
即，则切点，
设，直线与轴交点，则，
即，故，
，解得，故，，
故双曲线方程为。
19.（1）因为，且，
所以，即，解得，
又，即，解得；
（2）因为，所以，
所以，
又，，所以且，
所以，
又，
两边取对数可得，
所以以为首项，2为公比的等比数列，
所以，则，
所以.
（3）因为，所以，又，
所以，
所以，
所以，
设，因为，则，
因为，所以，所以，
所以，
要证，只需证明，
以下证明对任意的成立，
当时，，成立
假设当时（且）成立，
则，即，
所以对任意的成立，
所以，
所以，
所以。
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