江苏南京市第十三中学2025-2026学年高二上学期期末学情检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏南京市第十三中学2025-2026学年高二上学期期末学情检测数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 49.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
2027届高二年级期末学情检测
数学
（时间：120分钟 满分150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答发卡相应位置上.
1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则的值为（ ）
A.1 B.
C. D.2
4. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（ ）
A.7 B.
C. D.
5. （ ）
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与相交于，两点，与轴的交点为，，则的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
7. 函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B.1
C. D.
8. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则（ ）
A. 函数的图象在处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 当时，函数取得极值
D. 当时，函数取得极值
10. 已知数列满足，，则（ ）
A. 数列为等比数列
B.
C. ，
D.
11. 将方程表示的曲线作为函数的图象，则（ ）
A. 的图象不经过第三象限
B. 在上单调递增
C. 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3
D. 函数不存在零点
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 记为等差数列的前项和，若，则的值为.
13. 若直线：与圆和圆都相切，则符合条件的实数可以为（写出一个符合条件的实数即可）.
14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数（结果用数字作答）.
（1）求可组成多少个四位数；
（2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数；
（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第85个数.
16. 已知直线与圆交于，两点，且.
（1）求圆的方程.
（2）若过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，和圆交于、两点，且点、位于轴的下方，求.
17. 已知数列的前项和满足，，且.
（1）证明数列为等差数列；
（2）若数列的首项，且，，求数列的通项公式.
18. 已知椭圆的左、右顶点为、，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为0的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率；
（3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
19. 已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求正整数的最大值；
（3）证明：，.
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.D
5.B
6．B
7．C
8.D
9．BC
10．ABD
11．ACD
12．3
13．（，，，中的任意一个）
14．
15.(1)300
(2)108
(3)2301
（1）四位数的千位不能为，从数字，，，，，中选不重复的四位数个数，
千位从中选，有5种选法，
剩余三位从剩下的5个数字中选3个排列：
总数：.
（2）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻
先排奇数1，3，5，排列数：，
三个奇数从左到右形成4个空隙，
4个空隙中选3个放入偶数0，2，4（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）：
若空隙1未被选：只能选空隙，偶数全排列种，
若空隙1被选：空隙1不能放0，故从中选1个放在空隙1（2种），剩余两个偶数放入另
两个选中的空隙（种），
包含空隙1的空隙选择有3种、、，每种对应种偶数排法，共种，
偶数排法总数：，
六位数总数：.
（3）从小到大排列这些四位数，求第85个数，
千位为1时：后三位从剩余5个数中选3个排列，有个（第1～60个），
千位为2时：也有60个（第61～120个），
第85个在千位为2中排第个，
千位为2时：
百位为0：个（第61～72个），
百位为1：个（第73～84个），
第84个是2154，第85个是2301.
16.（1）
（2）
（1）已知圆的半径，且，
由得：，，
于是弦所对的圆心角为，
圆心到直线的距离，
利用点到直线距离公式：，
解得，即或（舍去的情形），
，故圆的方程为。
（2）圆心，直线过且斜率为，方程为：，
联立抛物线，消去：
，
，
设，，则：，
抛物线的焦点为（即为圆心），准线为，
由抛物线定义：
，
又，是直线与圆的交点，且过圆心，
因此是直径，，
由图可知，。
17.（1）由题知，，，
则，
两式相减得，，
所以，，又，
所以数列为首项为1，公差为2的等差数列.
（2）解：由（1）得，
所以，可得，
又，所以
，
所以，
两式相减得，
，
所以，所以，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
18.（1）抛物线的焦点为，故椭圆右焦点，即.
椭圆离心率，得.
，因此椭圆的方程为：.
（2），，.
面积 ，
面积 。
由 ，得：。
因为 ， 在 两侧，故 ， 异号，不妨设 。
设直线 ，与椭圆 联立得：（此处可能原文有遗漏，按图中内容保留）
设 ，，
则 ，。
代入 ，得：，。
消去 得：。
所以 ，斜率 。
（3）直线 ，
令 得：，。
直线 的斜率 。
于是：。
代入 ，，
，
由韦达定理得：，，
可得：，。
代入上式，分子：，（此处可能原文有排版或内容调整，按图中内容保留）
分母：.
所以：.
19.（1）当时，.
，，
，
切线方程：.
（2），
若，则对恒成立，单调递增，最小值为，
若，则在上递减，在上递增，
最小值在处：.
，即.
时，，时，，
故正整数的最大值为3.
（3）由（2）可得，当时，对有。
令，因，
代入得：。
对，，，求和：
，
当时（因为），
，
代入得：。
因此：。
即，证毕。
数学
（时间：120分钟 满分150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答发卡相应位置上.
1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则的值为（ ）
A.1 B.
C. D.2
4. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（ ）
A.7 B.
C. D.
5. （ ）
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与相交于，两点，与轴的交点为，，则的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
7. 函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B.1
C. D.
8. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则（ ）
A. 函数的图象在处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 当时，函数取得极值
D. 当时，函数取得极值
10. 已知数列满足，，则（ ）
A. 数列为等比数列
B.
C. ，
D.
11. 将方程表示的曲线作为函数的图象，则（ ）
A. 的图象不经过第三象限
B. 在上单调递增
C. 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3
D. 函数不存在零点
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 记为等差数列的前项和，若，则的值为.
13. 若直线：与圆和圆都相切，则符合条件的实数可以为（写出一个符合条件的实数即可）.
14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数（结果用数字作答）.
（1）求可组成多少个四位数；
（2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数；
（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第85个数.
16. 已知直线与圆交于，两点，且.
（1）求圆的方程.
（2）若过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，和圆交于、两点，且点、位于轴的下方，求.
17. 已知数列的前项和满足，，且.
（1）证明数列为等差数列；
（2）若数列的首项，且，，求数列的通项公式.
18. 已知椭圆的左、右顶点为、，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为0的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率；
（3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
19. 已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求正整数的最大值；
（3）证明：，.
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.D
5.B
6．B
7．C
8.D
9．BC
10．ABD
11．ACD
12．3
13．（，，，中的任意一个）
14．
15.(1)300
(2)108
(3)2301
（1）四位数的千位不能为，从数字，，，，，中选不重复的四位数个数，
千位从中选，有5种选法，
剩余三位从剩下的5个数字中选3个排列：
总数：.
（2）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻
先排奇数1，3，5，排列数：，
三个奇数从左到右形成4个空隙，
4个空隙中选3个放入偶数0，2，4（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）：
若空隙1未被选：只能选空隙，偶数全排列种，
若空隙1被选：空隙1不能放0，故从中选1个放在空隙1（2种），剩余两个偶数放入另
两个选中的空隙（种），
包含空隙1的空隙选择有3种、、，每种对应种偶数排法，共种，
偶数排法总数：，
六位数总数：.
（3）从小到大排列这些四位数，求第85个数，
千位为1时：后三位从剩余5个数中选3个排列，有个（第1～60个），
千位为2时：也有60个（第61～120个），
第85个在千位为2中排第个，
千位为2时：
百位为0：个（第61～72个），
百位为1：个（第73～84个），
第84个是2154，第85个是2301.
16.（1）
（2）
（1）已知圆的半径，且，
由得：，，
于是弦所对的圆心角为，
圆心到直线的距离，
利用点到直线距离公式：，
解得，即或（舍去的情形），
，故圆的方程为。
（2）圆心，直线过且斜率为，方程为：，
联立抛物线，消去：
，
，
设，，则：，
抛物线的焦点为（即为圆心），准线为，
由抛物线定义：
，
又，是直线与圆的交点，且过圆心，
因此是直径，，
由图可知，。
17.（1）由题知，，，
则，
两式相减得，，
所以，，又，
所以数列为首项为1，公差为2的等差数列.
（2）解：由（1）得，
所以，可得，
又，所以
，
所以，
两式相减得，
，
所以，所以，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
18.（1）抛物线的焦点为，故椭圆右焦点，即.
椭圆离心率，得.
，因此椭圆的方程为：.
（2），，.
面积 ，
面积 。
由 ，得：。
因为 ， 在 两侧，故 ， 异号，不妨设 。
设直线 ，与椭圆 联立得：（此处可能原文有遗漏，按图中内容保留）
设 ，，
则 ，。
代入 ，得：，。
消去 得：。
所以 ，斜率 。
（3）直线 ，
令 得：，。
直线 的斜率 。
于是：。
代入 ，，
，
由韦达定理得：，，
可得：，。
代入上式，分子：，（此处可能原文有排版或内容调整，按图中内容保留）
分母：.
所以：.
19.（1）当时，.
，，
，
切线方程：.
（2），
若，则对恒成立，单调递增，最小值为，
若，则在上递减，在上递增，
最小值在处：.
，即.
时，，时，，
故正整数的最大值为3.
（3）由（2）可得，当时，对有。
令，因，
代入得：。
对，，，求和：
，
当时（因为），
，
代入得：。
因此：。
即，证毕。
同课章节目录