江苏省无锡市锡山高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷（含答案）

江苏省锡山高级中学学年度第一学期期末考试
高二数学试卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的离心率为2，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 直线，，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A.13 B.15 C.17 D.19
4. 已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
6. 等差数列的前项和为，若，则使得的最小的为（ ）
A.13 B.14 C.15 D.16
7. 若函数，在处的切线与轴交于，则当最大时的值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知是定义在的偶函数，当时，，且
，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为；
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 到平面的距离为
10. 已知直线，圆，点为直线上的动点，点为圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为，则直线斜率的取值范围为
B. 面积的最小值为
C. 存在点，使得
D. 若点与点到某直线的距离分别为1和，当运动时，这样的直线有4条
11. 数列满足：，，，其中，则（ ）
A. 为等比数列
B. 的前项和为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为________.
13. 等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比________.
14. 已知函数在上存在零点，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知各项均为正数的数列前项和为，且满足：.
（1）求的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求证：.
16. 圆经过三点，，.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
17. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若存在使得成立，求的取值范围；
18. 双曲线离心率为，且经过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点.
（i）若，证明：直线过定点；
（ii）若，证明：直线过定点.
19. 在四棱锥中，，与交于点，，分别为，中点，，过点向平面作垂线，垂足为，.
（1）证明：平面；
（2）若
（i）若为中点，求三棱锥的体积；
（ii）设二面角的平面角为，求的最小值.
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.D
6.C
7.B
8.A
9.BCD
10．CD
11．ACD
12．
13．
14.
令 ，
，
令，
，
所以 在 上单调递增，
端点值：，，
当 时：由 在 上单调递增，得，
又 ，故 在 上恒成立，
从而 ， 在上单调递增，
又 ，所以 对恒成立，
在上无零点；
当 时：由 在 上单调递增，
得，
又 ，故 恒成立，
从而 对恒成立，
在上单调递减，
又，所以对恒成立，
在上无零点；
当时：由，，
则存在唯一的使，即，
在上，递减，；
在上，递增，；
故在上单调递减，又因，
可知在上恒为负，故，
要使在上存在零点，
只需：，
解得：，
综上：．
故答案为：
15．（1）；
（2）．
（1）令，可得，整理得，解得．
由，可得，，
将两式作差，得，，
即，，
即，，
即，，由数列各项均为正数，
易知，则，，
即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
故。
（2），
则，
易知，故，
因此，得证。
16.（1）
（2）或。
（1）设圆的方程为，
则有，解得，
故圆的方程为；
（2）可化为，
故圆以为圆心，5为半径，
若直线斜率不存在，则，此时到的距离，
则弦长，符合要求；
若直线斜率存在，设，即，
此时到的距离，
由所截得的弦长为，则，可得，
故，即，解得，
故，即；
综上可得：直线的方程为或。
17.
（1） 当时，，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值。
（2） 因为，
所以，
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，令得或，
①当时，，，所以在单调递增，
②当时，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
③当时，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，，
若，则，，即，不符合题意；
当时，在单调递减，
，则，解得，
又，所以；
当时，所以在单调递增，，不符合题意；
当时，，
①当时，在单调递增，在单调递减，
由题意得，
即，恒不成立，故无解，
②当时，在单调递减，
，则，解得：，不满足题意；
当时，在单调递增，，不符合题意；
所以的取值范围是．
18.（1）
由题意可知：，
又因为，代入得：，
将点代入双曲线方程：，将代入：
，则，
所以双曲线的方程为：．
（2）（i）设直线：，与双曲线联立：
代入得：，
即，
方程的判别式
设，，
则，．
，则：，，由条件可得：
代入前面表达式：
，
代入：，两边同除以，
得：，
因此，直线：，即恒过定点.
（ii）设定直线：，与双曲线联立，
代入：
，
两边同乘：，
方程的判别式，
设根为，，则：，，
则，.
对应点：，，
，求直线与双曲线另一个交点，与双曲线另一个交点，
设直线：，其中，
代入双曲线：
，，，
所以可得.
直线：，其中，同理可得。
，，
直线表示为：，将各项代入可得恒过
故直线恒过点。
19．
（1）由、为的中点，故，
由平面，平面，故，
又，、平面，，
故平面，又平面，故，
又、平面，，故平面，
又为中点，故为中位线，故，故平面；
（2）（i）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
由，，则，故，
则、、、、，
设、，则，，
由点在上，故，
又、，，，
则，整理得；
，整理得；
由为中点，则，即、，
则由可得，故，
即，则（负值舍去），则、，有，
又，故，则，故，
故；
（ii）由（i）得、，
且、，，
则、，，
设平面与平面的法向量分别为，
则，，
取，，则，，
即，，
则，
由、，，
则，即，
即，
由、，故，则，
，，
则
，
当且仅当、时，等号成立，
故的最小值为。