江苏南京师范大学苏州实验学校2025-2026学年高二上学期期末模拟测试数学试题（含答案）

南京师范大学苏州实验学校
2025-2026学年高二期末模拟测试数学
一、单项选择题：本部分共8小题，每小题5分，共40分
1. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B.
C. D.
2.2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲、乙两人中恰有1人通过的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A.4720 B.4722 C.4723 D.4725
4. 设，是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若，则C的离心率为（ ）
A. B.
C.3 D.2
5. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件，事件，事件，则（ ）
A.A与B互斥 B.A与B相互独立 C.A与C互斥 D.A与C相互独立
6. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，M是该椭圆和双曲线的一
个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的最小值为
7. 已知椭圆与抛物线，过点的两条互相垂直的直线与的另两个交点分别为，，与的另两个交点分别为，，记直线和的斜率分别为，，则关于与之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ）
A.96 B.98 C.100 D.102
二、多项选择题：本部分共3小题，每小题6分，共18分
9. 某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（ ）
A.
B. 约有200人的成绩不低于110分
C. 约有60人的成绩低于70分
D. 本次考试的平均分约为93.6分
10. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的标准方程为
B. 椭圆上存在点，使得
C. 是椭圆上一点，若，则
D. 若，的内切圆半径分别为，，当时，直线的斜率
11. 已知定义域为上的函数满足，且，记，则下列选项中正确的有（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D.
三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共15分
12. 设，若直线与直线之间的距离为，则的值为______.
13. 某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为，，，，，，，则这组数据的第分位数是______.
14. 已知双曲线：，直线是双曲线右支的一条切线，与的渐近线交于、两点，若的中点为，且三角形的面积，则双曲线离心率为______.
四、解答题：本部分共5小题，共77分
15. 汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示.
（1）求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数；
（2）已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差.
16. 已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
（1）求，，，及的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①求，的值；
②在数列中是否存在3项，，（其中，，，互异）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为的上顶点，为的右顶点，，为直角三角形.
（1）求的方程；
（2）若直线交于，两点，求面积的最大值.
18. 记数列的前项和为，且，.
（1）若为等差数列，求；
（2）若，证明：.
19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点的直线交于、两点，其中点在第二象限.
（1）若直线过点，求的面积；
（2）设线段交半径为的圆于点，直线与交于点，若直线，的斜率之比为，求．
参考答案
1．D
2．A
3．C
4．D
5.D
6．D
7．A
8．D
9．ABD
10．ACD
11.ABD
12．2或
13．25
14.
15.（1）60人，中位数为75，平均数为73.5
（2）平均值为73，方差为53
（1）由题可知，打分在内的频率为
，
所以样本中打分在内的客户人数为人.
由图可知，打分在内的频率为0.35，在内的频率为0.30，
设样本的中位数为，则，则，解得，
故样本的中位数为75.
.
（2）根据频率分布直方图可知，打分在，内的样本数据的频数分别为30，
60，
所以打分在内的样本数据的平均值为.
打分在内的样本数据的方差为.
16.（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除，
所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列，
所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为，
则，，，，.
（2）①由，得，易得，，，
由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故；
在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故.
②不存在，理由如下：
由题意，即，所以.
假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列，
则，即，化简得.
又因为，所以，
可得，即，
又因为，代入可得，
化简得，则有，即，这与题设矛盾.
所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列
17.（1）
（2）
（1）由题意可知：，且，
结合，
解得，，
故椭圆的方程为，
（2）联立方程，
设，，则，，
又直线恒过点，且点在椭圆内，
故
，
令，则，
故，
由于在单调递增，故，
故，
因此，故最大值为，此时，，
18.（1）设等差数列的公差为，
当时，，
当时，，
由①②得，，
所以，
因为，所以，，
因为为等差数列，所以，
所以，
化简得，所以，
所以.
（2）当时，，
因为，可得，
因为，可得，
由（1）可知，当时，，所以，
，
当时也符合上式，
所以。
因为，
所以。
19.（1）
（2）
（1）由题意在椭圆中，左顶点为，右焦点为，
，，，，，
在直线中，图像过，，
，即
直线与椭圆交于、两点，设，
，解得：，
易得，所以，，
，
点到直线的距离为，
（2）由题意及（1）得，点在第二象限，直线斜率存在，且斜率，
在直线中，设，与椭圆联立，
化简得，易得，
设，因为， 由韦达定理， 有，得，
代入方程，解得，
，
又， 故，
线段交半径为的圆于点，
，
设，则，
解得，，
，
直线的方程为，
联立方程组，可得，
直线的方程为，
联立方程组，消去得
，
可得，
，记，
有，或，当时，不在第二象限，舍去，
所以，得，
经检验，满足上述方程中，
所以，，。