江苏南通市海门区2025-2026学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

高二数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.
3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，则（ ）
A．2 B．1
C． D．
2．如果，，那么直线不通过（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知空间向量，，则，（ ）
A． B．
C． D．
4．在等比数列中，若，则（ ）
A．2 B．4 C．16 D．64
5．已知直线垂直于直线，则实数（ ）
A． B．2
C． D．
6．已知在四面体中，，，.点在棱上，满足，点在棱上，满足.若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等差数列的前项和为，若，，则对于任意的，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，它到双曲线的一条渐近线的距离为，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 《庄子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若一尺之棰长度为1，第一天得到的长度为，第天得到的长度记为，且数列的前项和为，则（ ）
A. 是公比为的等比数列
B.
C. 任意，
D. 存在，，使得
10. 在平面直角坐标系中，设过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，且抛物线在点，处的切线交于点，则（ ）
A.
B. 直线，的斜率之积为
C.
D.
11. 在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点在侧面内运动（含边界），且点到点的距离等于到棱的距离，记点的运动轨迹为曲线，点为曲线的顶点，则（ ）
A. 曲线是抛物线的一部分
B.
C. 二面角的正切值为2
D. 点到平面的距离最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列的首项为1，对于任意，，，则____.
13. 已知点，是圆内接正方形的一条对角线上的两个端点，则圆的半径
大小为____，圆上动点到点的距离的取值范围是____.
14. 已知直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于，两点，若点在第一象限，且，，依次成等差数列，则直线的斜率为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（）的导数为.
（1）当时，求曲线在处切线的方程；
（2）解关于的不等式.
16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
17. 已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列满足，求数列的前2025项和；
（3）设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围.
18. 如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值.
19. 已知椭圆：（）的离心率为，右焦点为，若点为椭圆的右顶点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆上两点，（异于点）关于坐标原点对称，直线，分别交椭圆于另一点和点.
（i） 求直线与直线的斜率之积；
（ii） 求面积的最大值.
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.C
5．A
6．B
7．B
8．A
9．AC
10．ACD
11．
12．
13．
14．
15.(1)
（2）当时，解集为，当时，解集为.
（1）当时，，则，，
所以曲线在处切线的斜率，
所以曲线在处切线的方程为，即。
（2）由题意知，，
当时，对恒成立，故解集为，
当时，令，解得或（不符合题意舍去），
若，则，即；
若，则，即，
故解集为，
综上所述，当时，解集为，
当时，解集为。
16.（1）
（2）或
（1）设圆心，因为圆经过点，，
所以，
所以，
整理得，解得，所以圆心，
又圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）根据垂径定理得，圆心到直线的距离为，
当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意；
当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
所以由点到直线的距离公式得
即，解得，直线的方程为，即；
综上所述：直线的方程为或。
17.（1）证明：由，又，
两边同除以得，即，
又，故。
所以是以为首项，为公差的等差数列。
（2）由（1）得，，
则，
前项和，。
当时，。
（3）由（1）知，
因此，
数列的前项和为：
将代入不等式，得，
即，
因为，所以，两边同乘得：
令，分析其单调性：
故在上单调递减，因此。
要使对一切恒成立，只需，即。
所以，实数的取值范围为。
18.（1）因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以，
又，所以，又，，平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，，
因为三角形是等腰直角三角形，且，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，所以，又，，
所以四边形为矩形，所以，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的夹角为，
则，，
所以平面与平面所成的夹角的余弦值为。
（3）设，又，则，
由（2）可得，所以，
因为点为的中点，所以，
所以，
因为直线与平面交于点，所以，
解得，所以。
19.（1）
（2）（i）；（ii） 。
（1）设半焦距为，则右焦点，又椭圆右顶点， 所以
，
由，解得 ，则，
所以椭圆的方程为。
（2）（i）设，则，由（1）得，
则直线的方程为，
联立，得，
设，由韦达定理得，解得，
代入直线方程，可得，即，
因为，则可得，
因为，所以，
，
所以，
（ii）由（i）知，，，，
则，且直线的方程为，即，
则点到直线的距离，
所以面积，
则，
令，由，得，则，
代入可得
，
令，则，当且仅当，即时取等号，
则，
代入可得，
为开口向下，对称轴为的抛物线，
因为，所以当时，有最大值，且为9，
所以面积的最大值为3.