江苏常州市第三中学2025-2026学年高二第一学期数学期末试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏常州市第三中学2025-2026学年高二第一学期数学期末试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 57.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
常州市第三中学高二年级数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 用1，2，3，4，5，6可以排成数字不重复的三位数的个数是（ ）
A. B.
C. D.
2. 记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.13 B.45 C.65 D.130
3. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4. 已知数列满足，，则的值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
5. 某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（ ）种．
A.7 B.10 C.14 D.16
6. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A.12 B.18 C.21 D.27
7. 已知双曲线的右焦点为，点是其渐近线上的一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C.3 D.
8. 从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A.24种 B.72种 C.108种 D.120种
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则正整数的值是1
B．
C．
D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为中的最大项
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记为等比数列的前项和．若，，则________．
13．已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为________．
14．设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知是等差数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
16. 已知圆过，，三点.
（1）求圆的一般式方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为.
（1）求；
（2）求展开式中含项的系数；
（3）求展开式的第六项.
18. 数列的前项和为，. 正项等比数列的首项为，为其前项和，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值.
19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础. 已知椭圆（）的离心率为，且右顶点与上顶点的距离.
（1）求椭圆的面积；
（2）若直线交椭圆于，两点，
（i）求的面积的最大值（为坐标原点）；
（ii）若以，为直径的圆过点，，为垂足. 是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5．C
6．C
7．A
8．C
9．BC
10．BC
11．ACD
12．．
13．4或6
14．
15．（1）解：设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，，
所以，即数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知：数列的通项公式为，可得，
则，
因为，可得，所以，
即．
16．（1）
（2）或．
（1）设圆的一般方程，因为圆过，，三点，
所以 解得，
故圆的一般式方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线为，圆截得的弦长为，故直线为．
设直线的斜率为，又过点，所以直线的方程为，
由（1）可知圆心为，半径，又因为圆截得的弦长为，
所以由垂径定理可得圆心到直线的距离，
由点到直线的距离可得解得．
所以直线的方程为： 或．
17．（1）
（2）
（3）
（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128．
所以，解得．
（2）二项式展开式的通项为，
，，，，，，，，
令，解得：，
所以当时，，
故展开式中含项的系数为．
（3）根据（2）可得，二项式展开式的通项为，
，，，，，，，，
令，可得，所以展开式的第六项为．
18．（1），
（2）
（1）由，当时，，
又，满足上式，所以．
因为正项等比数列的首项为1，，设其公比为，
当时，，，不满足；
当时，且，，化简整理得，
解得，则，
所以，.
（2）由，则，即对任意的恒成立，
当时，，
当时，设数列在第项取得最小值，
则，解得，
所以当时，取得最小值，
又，所以，
所以实数的最大值为.
19.(1)
（2）（i）1；（ii）存在定点，使得为定值
（1）由题意，，解得，，，
所以椭圆的方程为，则椭圆的面积为。
（2）（i）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为（，且）
则，，
即，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的面积的最大值为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
则，
，，
则
，
又点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
此时的面积的最大值为。
综上所述，的面积的最大值为。
（ii）因为点在以，为直径的圆上，所以，
因为，，，
所以，，
则，
当直线的斜率存在时，由（i）知，
，
所以，
整理得，，
即，即或，
当时，直线的方程为，过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，恒过点。
当直线的斜率不存在时，，，，
由（i）知，，，则，
由，得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，过点。
综上所述，直线恒过点。
因为，为垂足，为定值，
所以点在以，为直径的圆上，
取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 用1，2，3，4，5，6可以排成数字不重复的三位数的个数是（ ）
A. B.
C. D.
2. 记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.13 B.45 C.65 D.130
3. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4. 已知数列满足，，则的值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
5. 某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（ ）种．
A.7 B.10 C.14 D.16
6. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A.12 B.18 C.21 D.27
7. 已知双曲线的右焦点为，点是其渐近线上的一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C.3 D.
8. 从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A.24种 B.72种 C.108种 D.120种
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则正整数的值是1
B．
C．
D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为中的最大项
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记为等比数列的前项和．若，，则________．
13．已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为________．
14．设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知是等差数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
16. 已知圆过，，三点.
（1）求圆的一般式方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为.
（1）求；
（2）求展开式中含项的系数；
（3）求展开式的第六项.
18. 数列的前项和为，. 正项等比数列的首项为，为其前项和，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值.
19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础. 已知椭圆（）的离心率为，且右顶点与上顶点的距离.
（1）求椭圆的面积；
（2）若直线交椭圆于，两点，
（i）求的面积的最大值（为坐标原点）；
（ii）若以，为直径的圆过点，，为垂足. 是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5．C
6．C
7．A
8．C
9．BC
10．BC
11．ACD
12．．
13．4或6
14．
15．（1）解：设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，，
所以，即数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知：数列的通项公式为，可得，
则，
因为，可得，所以，
即．
16．（1）
（2）或．
（1）设圆的一般方程，因为圆过，，三点，
所以 解得，
故圆的一般式方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线为，圆截得的弦长为，故直线为．
设直线的斜率为，又过点，所以直线的方程为，
由（1）可知圆心为，半径，又因为圆截得的弦长为，
所以由垂径定理可得圆心到直线的距离，
由点到直线的距离可得解得．
所以直线的方程为： 或．
17．（1）
（2）
（3）
（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128．
所以，解得．
（2）二项式展开式的通项为，
，，，，，，，，
令，解得：，
所以当时，，
故展开式中含项的系数为．
（3）根据（2）可得，二项式展开式的通项为，
，，，，，，，，
令，可得，所以展开式的第六项为．
18．（1），
（2）
（1）由，当时，，
又，满足上式，所以．
因为正项等比数列的首项为1，，设其公比为，
当时，，，不满足；
当时，且，，化简整理得，
解得，则，
所以，.
（2）由，则，即对任意的恒成立，
当时，，
当时，设数列在第项取得最小值，
则，解得，
所以当时，取得最小值，
又，所以，
所以实数的最大值为.
19.(1)
（2）（i）1；（ii）存在定点，使得为定值
（1）由题意，，解得，，，
所以椭圆的方程为，则椭圆的面积为。
（2）（i）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为（，且）
则，，
即，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的面积的最大值为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
则，
，，
则
，
又点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
此时的面积的最大值为。
综上所述，的面积的最大值为。
（ii）因为点在以，为直径的圆上，所以，
因为，，，
所以，，
则，
当直线的斜率存在时，由（i）知，
，
所以，
整理得，，
即，即或，
当时，直线的方程为，过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，恒过点。
当直线的斜率不存在时，，，，
由（i）知，，，则，
由，得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，过点。
综上所述，直线恒过点。
因为，为垂足，为定值，
所以点在以，为直径的圆上，
取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值。
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