江苏南通市市区、通州、启东2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

高二数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
2. 数列，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3. 已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4. 在空间四边形中，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
5. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
6. 已知数列满足：，.则（ ）
A． B．
C． D．
7. 已知双曲线：的左焦点为，为的右支上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线：，若在上存在点，使得过点可作两条互相垂直的直线与圆相切，则的最小值为（ ）
A.1 B.
C. D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 是等差数列
D. “”是“”的充要条件
11. 已知正方体，是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若到点与点的距离相等，则的轨迹为直线
B. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_____.
13．已知过原点的直线与圆：交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹与圆的公共弦长为____.
14．已知数列的前项积为，，，则___（用阶乘表示）；若数列的前项和为，且恒成立，则的最小值为___.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设数列的前项的和为.
（1）若是等比数列，且，，求；
（2）若是公差不为的等差数列，且，，成等比数列，求的值.
16．已知双曲线：与抛物线：有相同的焦点.
（1）若，在第一象限的交点为，且，求的方程；
（2）过点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，.若，求的离心率.
17．已知数列的前项和为，，且.
（1）求证：是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
18．如图，在正四棱锥中，，为与的交点，点，分别为棱，的中点，且.
（1）求的长度；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若，且，，，四点共面，求的值.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）若三点，，都在上，且，关于点对称，直线与圆：相切.
（i） 从下面两个结论中选择一个证明：
①直线与圆相切；②为等腰三角形；
（ii） 求面积的取值范围.
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．B
6．B
7．C
8．D
9．BCD
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14． 2
15.（1）
（2）
（1）设等比数列的公比为.
因为，所以，
所以，，
则，整理得，解得，所以.
所以.
（2）设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以.
16.（1）
（2）
（1） 抛物线：的焦点，准线方程为，
由，结合抛物线的定义知，点的横坐标为，
所以点坐标为.
所以解得
所以的方程为.
（2）设直线的方程为.
联立方程组
消得，
设，，则.
由，
解得．
因为直线与的一条渐近线平行，所以，
所以的离心率。
17.（1）由，
则当时，，
两式相减得，，
所以，即
因为，则，所以，
所以是等差数列，且公差为1。
（2）当时，，
即，解得或（舍去）。
由（1）知，。
所以。
所以，
，
两式相减得，
即，
所以。
18.（1）
（2）
（3） .
（1）在正四棱锥中，以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，则，，，.
设，则，.
所以，.
因为，所以，解得.
所以.
（2）由（1）知，，，
，.
设平面的法向量为.
由得
则，取，则，
即平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
由得
取，则，，
即平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，则，
所以，
即二面角的正弦值为.
（3）由，
所以，
所以.
设平面的法向量为，
因为，，
由得
则，取，则，
即平面的一个法向量为。
因为，，，四点共面，则，
所以，
解得。
19.（1） 由的焦距为，且经过点，
则，解得，
所以的方程为。
（2）如图：
（i）选择①：当直线的斜率不存在时，
此时直线的方程为（或），
不妨取点，则，，
所以直线的方程为，满足与圆相切.
当直线的斜率存在时，设方程为，
设，，则.
因为直线与圆：相切，
所以，即.
联立方程组消得，，
所以，.
因为直线的方程为，
，
所以圆心到直线的距离为
，
所以直线与圆相切.
综上，直线与圆相切.
选择②：要证为等腰三角形，
即证，即证.
当直线的斜率不存在时，同①知，满足；
当直线的斜率存在时，设方程为，
设，，则，
同①知， ， ，
所以\（
，
所以.
所以为等腰三角形.
（ii）由（i）知，，故的面积为
.
当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，
由，
所以。
设，则，
因为，所以，
所以，即，
所以面积的取值范围是。