江苏常州市北郊高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题（含答案）

2025~2026学年第一学期期末考试
高二数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
2．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ）
A． B．
C． D．
3．记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
4．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%，30%，甲、乙两台车床的正品率分别为94%，92%．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ）
A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945
5．学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
6．已知为抛物线上的动点，点到轴的距离为，点到直线
的距离为，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．1 B．2 C．20 D．24
8．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则（ ）
A．117 B．118 C．119 D．120
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知随机变量服从正态分布，若，则
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与不独立
D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10．已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列的最大项为
D．
11．设，为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，可能不相互独立；
B．若，则；
C. 若条件概率存在且不为0，，，则；
D. 若，则。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是______.
13. 若数列满足，，则该数列的前2026项的乘积等于______.
14. 过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
16. 已知数列的首项为，且满足
（1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求。
17. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金. 为了解研发资金的投入额（单位：千万元）对年收入的附加额（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
投入额 10 30 40 60 80 90 110
年收入的附加额 3.20 4.00 4.80 6.00 7.30 7.45 9.25
（1）求关于的线性回归方程；
（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记表示这三个年份为“优”的个数，求的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
18．已知点是椭圆一点，且椭圆的离心率为．
（1）求此椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为，过点向上作一射线交椭圆于点，以为边作矩形，使得对边经过椭圆中心．
（i）求矩形面积的最大值；
（ii）问：矩形能否为正方形？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由．
19．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，求整数的最小值；
（3）设，且，求整数的最小值；
参考答案
1．C
2．B
3．C
4．B
5．B
6．C
7．C
8．D
9．ACD
10.BD
11.BC
12.
14．或
15.（1）
（2）或；
（1）如图，
圆的圆心必定在，连线的垂直平分线 上，将代入 ，解得 ，
，半径 ，圆的标准方程为： ；
（2）当直线的斜率存在时，设直线：，即，
则，解得，此时直线：；
当直线的斜率不存在时，直线：显然与圆相切，
所以直线的方程为或；
综上，圆的标准方程为：，直线的方程为或.
16.（1）因为，，故，
所以，即，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
可得，所以；
（2）由（1）可知：，
令，则，
则，
所以
.
17.（1）依题意，，
，
，
，
所以关于的线性回归方程为.
（2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个，
所以的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列如下：
0 1 2 3
所以的期望是.
18.（1） ；
（2）（i） ；（ii） .
（1）令椭圆半焦距为，依题意，，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）（i）由（1）知，，设直线的斜率为，，则直线的方程为：
，
由消去并整理得：，的横坐标，
则点的横坐标有：，解得，
则有，因矩形的边过原点，则
，
因此，矩形的面积，当且仅当，
即时取“”，
所以矩形面积的最大值是。
（ii）假定矩形能成为正方形，则，由（i）知：，
整理得：，即，而，解得，
所以矩形能成为正方形，此时，直线的方程为。
19.（1）
(2)
(3)
（1）当时，，解得，
当时，由，可得，
两式相减得，，则，
因，，所以是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，即，所以数列的通项公式为．
（2），
所以，
又，所以，所以，
所以整数的最小值1．
（3）因为．
，
当时，
，
又，所以，
所以整数的最小值3．