江苏省南京市东高、秦科高、南师江宁、金陵河西、雨中2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市东高、秦科高、南师江宁、金陵河西、雨中2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 52.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026【东高、秦科高、南师江宁、金陵河西、雨中】高二上期末考试
一、单选题
1．直线：的倾斜角是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列是等差数列，，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
4．若函数在处的切线平行于直线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且与圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知实数，满足方程，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线垂直
C. 直线与圆相交
D. 若，直线被圆截得的弦长为4
10. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 是等比数列
D. 是等比数列
11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点。设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线，交直线于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的轨迹方程为
B. 的最小值为
C. 的最小值为4
D. 面积的最大值为
三、填空题
12. 计算的值为____.（用数字作答）
13. 已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为____.
14. 椭圆的长轴的顶点为、，动点在椭圆内，且，则
的取值范围是____．
四、解答题
15．根据下列条件，分别求满足条件的方程：
（1）以为圆心且与圆相外切，求圆的方程；
（2）已知点，圆过点、，且圆心在直线上．过点的直线与圆相切，求直线的方程．
16．已知函数，，
（1）若函数与在处的切线垂直，求的值．
（2）讨论函数的单调性并写出单调区间．
17．已知为等比数列，为等差数列，满足且，，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．已知函数．
（1）当时，求函数的最值；
（2）①若恒成立，求的最小值；
②证明：，其中．
19．已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率存在的直线交椭圆于，两点（，位于轴的两侧），记直线，的斜率分别为，，若．
（i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由；
（ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，，求的取值范围．
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．A
5．C
6．D
7．A
8.B
9．BC
10．ABD
11．AD
12．
14．
15.（1）
（2）或
（1）圆，半径为，
因为，由题意可知圆的半径为 ，
故圆的方程为 。
（2）根据题意，设圆的圆心为，
由可得，，
故圆的半径为，所以圆的方程为，
因为直线过点，当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于圆的半径可得，解得，
此时直线的方程为，即。
综上所述，直线的方程为或。
16.（1）函数，求导得，
函数，求导得，由函数与在处的切线垂直，
得，即，所以。
（2）函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
17.（1），；
（2）
（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
因为，，所以，，
得，解得或，
当时，；当时，，
因为，所以，故舍去.
则，.
故，.
（2）设，则，①
所以②，
① - ②得
即.
18.（1）当时，函数，函数定义域为，
，
当，；当，，所以在单调递增，在单调递减，
所以函数在处取得极大值也是最大值，无最小值.
故函数最大值；无最小值；
（2）若恒成立，即，得.
令，，
当，；当，.所以在单调递增，在单调递减，
所以在处取得极大值也是最大值，所以.
故的最小值为；
由（1）可知，当时，恒成立，即（当且仅当时等号成立），
令，所以，即对，都有.
由累加法得.
故，其中.
19.（1）
（2）（i）是，；（ii）
（1）由题意得，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）设：，，联立得
因为，所以
化简得
当时，右边，左边
所以恒过
（ii），由（2），
，代入化简得
，
因为，所以，所以，
所以，所以。
一、单选题
1．直线：的倾斜角是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列是等差数列，，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
4．若函数在处的切线平行于直线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且与圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知实数，满足方程，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线垂直
C. 直线与圆相交
D. 若，直线被圆截得的弦长为4
10. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 是等比数列
D. 是等比数列
11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点。设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线，交直线于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的轨迹方程为
B. 的最小值为
C. 的最小值为4
D. 面积的最大值为
三、填空题
12. 计算的值为____.（用数字作答）
13. 已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为____.
14. 椭圆的长轴的顶点为、，动点在椭圆内，且，则
的取值范围是____．
四、解答题
15．根据下列条件，分别求满足条件的方程：
（1）以为圆心且与圆相外切，求圆的方程；
（2）已知点，圆过点、，且圆心在直线上．过点的直线与圆相切，求直线的方程．
16．已知函数，，
（1）若函数与在处的切线垂直，求的值．
（2）讨论函数的单调性并写出单调区间．
17．已知为等比数列，为等差数列，满足且，，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．已知函数．
（1）当时，求函数的最值；
（2）①若恒成立，求的最小值；
②证明：，其中．
19．已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率存在的直线交椭圆于，两点（，位于轴的两侧），记直线，的斜率分别为，，若．
（i）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由；
（ii）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，，求的取值范围．
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．A
5．C
6．D
7．A
8.B
9．BC
10．ABD
11．AD
12．
14．
15.（1）
（2）或
（1）圆，半径为，
因为，由题意可知圆的半径为 ，
故圆的方程为 。
（2）根据题意，设圆的圆心为，
由可得，，
故圆的半径为，所以圆的方程为，
因为直线过点，当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于圆的半径可得，解得，
此时直线的方程为，即。
综上所述，直线的方程为或。
16.（1）函数，求导得，
函数，求导得，由函数与在处的切线垂直，
得，即，所以。
（2）函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
17.（1），；
（2）
（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
因为，，所以，，
得，解得或，
当时，；当时，，
因为，所以，故舍去.
则，.
故，.
（2）设，则，①
所以②，
① - ②得
即.
18.（1）当时，函数，函数定义域为，
，
当，；当，，所以在单调递增，在单调递减，
所以函数在处取得极大值也是最大值，无最小值.
故函数最大值；无最小值；
（2）若恒成立，即，得.
令，，
当，；当，.所以在单调递增，在单调递减，
所以在处取得极大值也是最大值，所以.
故的最小值为；
由（1）可知，当时，恒成立，即（当且仅当时等号成立），
令，所以，即对，都有.
由累加法得.
故，其中.
19.（1）
（2）（i）是，；（ii）
（1）由题意得，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）设：，，联立得
因为，所以
化简得
当时，右边，左边
所以恒过
（ii），由（2），
，代入化简得
，
因为，所以，所以，
所以，所以。
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