江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期期末质量检查数学试卷（含答案）

江苏省常州高级中学
2025~2026学年第一学期期末质量检查高二年级
数学试卷
说明：1．请将所有题目的答案填涂在答卷纸上．
2．本卷总分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是正确的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患
了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患
了流感的概率为（ ）
A． B．
C． D．
5．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每
年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放
洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中
随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．设为数列的前项积，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7. 已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 直线与交于点，圆上有两动点，，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若事件与事件相互独立，且，，则
B. 若事件与事件相互独立，且，，则
C. 若事件与事件互斥，且，，则
D. 若事件与事件互斥，且，，则
10. 若，则下列选项正确的有（ ）
A.
B. 展开式中的系数为
C. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项
D. 当时，除以8的余数为1
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹．我们称其为卡西尼卵形线（Cassinni Ocal）．在平面直角坐标系中，设定点为、，点为坐标原点，动点满足．下列四个命题中，正确的有（ ）
A. 点的轨迹既是中心对称又是轴对称图形
B. 的面积的最大值为2
C. 的最大值为4
D. 的周长的取值范围为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 两圆和相交于两点，，则公共弦的长为______。
13. 某校高二年级举行米接力赛，共有7条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”。赛制规定：由1到7班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回。在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率为______。
14. 已知数列满足（当且仅当为奇数时取“”），且，，，则的最小值为______；若，则正整数的最大值为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15. 已知数列满足，且。
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和。
16. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，为的中点，且。
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线，与椭圆有唯一公共点，与轴的正半轴相交，若的面积为，求椭圆的方程。
17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇。
（1）为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 56 80
40岁及以上 36 80
总计 160
完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关；
（2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为。求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱。
附：（i） 在线性回归方程中，，；
（ii） 样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强；
（iii） ，其中。
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18. 若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列。
（1） 若数列是“”数列，求的值；
（2） 若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3） 是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
19. 已知点是抛物线上一点，点，。
（1）求的坐标和抛物线的方程；
（2）连接交于另一点，令为关于轴的对称点，连接交于另一点，令为关于轴的对称点……，如此不断循环，即连接交于另一点，令为关于轴的对称点，得到点列和，设，，，。
（i） 证明：数列为等差数列；
（ii） 记四边形的面积为，求并证明：。
参考答案
1．A
2．A
3．C
4．A
5．D
6．B
7．B
8.
9．ACD
10．BD
11．ABD
12．
13．
14． 12 86
15．（1），，
，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，
．
16．（1）
（2）
（1）为直角三角形，为的中点，
则，，又，所以，
，所以，所以椭圆离心率为．
（2）如图所示，
由（1）可知，，，所以可设直线的方程为，
，
联立，得，
又与椭圆有唯一公共点，故，即，即，
又所在直线方程为，直线与的距离为，
，解得，所以，
故椭圆的方程为．
17.（1）补全列联表如下：
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 56 24 80
40岁及以上 44 36 80
总计 100 60 160
提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关.
则，
故认为选择新能源汽车与年龄无关；
（2）因为，，
所以，又，，，
所以，故与线性相关性较强.
18.(1)1
（2）
（3）存在，.
（1）数列是“”数列，
，，.
（2） 正项数列是“”数列，，
，，即，又，故，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
当时，，
当时，不满足，
（3）由“”数列定义知：，
则，
，，
，
，，令，
故在有解，
当时，不符合；
当时，令，图象为开口向上的抛物线，此时
，此方程有解；
当时，对称轴，，所以在上无解，
即实数的取值范围为．
19.（1）；
（2）（1）由在抛物线上，则，即，
可得，化简可得，解得，
所以抛物线．
（2）（i）由题意可知，，共线，且，，
由，在抛物线上，则，即，
由共线以及三点所在直线斜率存在，则，
可得，化简可得，
整理可得，即，所以数列是等差数列．
（ii）由（i）可知数列是等差数列，公差为，且，
则，即，
由题意可得，，，，
即，，，
则四边形的面积
．
当时，，可得，
故
9.