江苏省泰州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省泰州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 64.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
泰州高二数学试卷
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若数列满足，（），则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线，，若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
5. 若椭圆上存在四个点与椭圆的两个焦点构成一个正六边形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若存在，使得，且的最大值为，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（ ）
A. 原点到直线的距离为
B. 任意，点在直线上
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
D. 原点与点关于直线对称
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，在区间上的最大值为2
B. 当时，2是的极大值点
C. 若在区间上单调递减，则
D. 若的图象关于点中心对称，则
11. 已知为等比数列，，则（ ）
A. 若，则数列是递增数列
B. 若，则数列是递增数列
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设等差数列的前项和为。若，则。
13. 已知点，，动点满足：。若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程。
14. 已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点。若对任意的直
线，存在定圆（圆心为定点，半径为定值）内切于以为直径的圆，则定圆的圆心坐标为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点在抛物线上
（1）若点的横坐标为2，求点到抛物线焦点的距离；
（2）若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标.
16. 设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，
①；②；③.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17. 已知函数，，为实数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，证明：当时，.
（3）当时，讨论在区间上的单调性.
18. 在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，点，与点均不重合.
（1）已知直线：，讨论直线与双曲线的公共点的个数；
（2）记直线与直线的斜率分别是，.
（i） 求证：为定值；
（ii） 若点是的外接圆的圆心，判断直线的斜率是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由.
19. 已知圆：.定义第1次操作为：作半径为（单位：米）的圆与圆关于直线对称.定义第（，，）次操作为：作半径为（单位：
米）的圆，使圆与轴相切，且圆与圆、圆均外切.
（1）求圆的标准方程；
（2）求（用含有的式子表示）；
（3）当，时，求证：.
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．A
5．D
6．C
7．D
8．B
9．ABC
10．ACD
11.BCD
12．52
13．（填也可）
14．
15.（1）
（2）
（1）解：抛物线得准线方程为，
根据抛物线得定义可得：
点到抛物线焦点的距离为；
（2）解：设点，
根据抛物线得定义可得：
点到抛物线焦点的距离为，所以，
则，所以，
所以点的坐标为．
16．（1）所选条件见解析，；
（2）．
（1）选①：时，，则，
又，则是首项、公比均为的等比数列，则；
选②：时，
，显然也满足，则；
选③：时，，与题设矛盾；
（2）由（1），则，
所以时，时，则，
所以上，要使恒成立，只需．
17．（1）；
（2）证明见解析；
（3）在上单调递减，在上单调递增.
（1）由题设，则，，
所以在点处的切线方程为，
所以；
（2）当时，且，其中，，
所以，，所以恒成立，
当时，由且，且，
所以，在上恒成立，则在上单调递增，
所以，
综上，时，得证；
（3）由，则，故，
当时，恒成立，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，
当时，令，则，
令，则，即在上单调递增，
，
所以使，
所以在上，在上，
即在上单调递减，在上单调递增，
而端点值符号为，
即在上恒成立，所以在上单调递减，
综上，在上单调递减，在上单调递增.
18.
（1）由的渐近线为，则与平行或重合，
当时，直线与双曲线的公共点有个，
当时，直线与双曲线的公共点有个；
（2）（i）由题设，且可设直线，联立，
所以，则，
，
若，，则，，且，
所以
为定值，得证；
（ii）设，结合（i）有，且，，，
所以，，
联立，则，整理得，
所以，则（舍），故，
所以，同理，可得，
设圆的方程为，所以，
又，即，所以，
所以，则，
所以，得，同理，
而，则，
令，则，则
即，
令，则，故，可得，
所以，即的最小值、最大值分别为，。
19.（1）由题设，则圆心，半径，
由圆与圆关于直线对称，则，圆心，
所以；
（2）由题意可设，若，由圆与圆外切，则，
所以，则，且，，
由圆与圆外切，则，
所以，则，
当，则，即，且，
所以，则，
当，则，代入，则，
由题意知，则，，，
所以是首项为，公差为1的等差数列，则，
所以，即，，且，
所以；
（3）由题设，则，而，
所以，
，
所以，
由时，，满足，
若，也成立，
则，有
，
由
，
由，
所以，则，
所以，即也成立，
综上，，得证.
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若数列满足，（），则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线，，若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
5. 若椭圆上存在四个点与椭圆的两个焦点构成一个正六边形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若存在，使得，且的最大值为，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（ ）
A. 原点到直线的距离为
B. 任意，点在直线上
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
D. 原点与点关于直线对称
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，在区间上的最大值为2
B. 当时，2是的极大值点
C. 若在区间上单调递减，则
D. 若的图象关于点中心对称，则
11. 已知为等比数列，，则（ ）
A. 若，则数列是递增数列
B. 若，则数列是递增数列
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设等差数列的前项和为。若，则。
13. 已知点，，动点满足：。若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程。
14. 已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点。若对任意的直
线，存在定圆（圆心为定点，半径为定值）内切于以为直径的圆，则定圆的圆心坐标为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点在抛物线上
（1）若点的横坐标为2，求点到抛物线焦点的距离；
（2）若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标.
16. 设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，
①；②；③.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17. 已知函数，，为实数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，证明：当时，.
（3）当时，讨论在区间上的单调性.
18. 在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，点，与点均不重合.
（1）已知直线：，讨论直线与双曲线的公共点的个数；
（2）记直线与直线的斜率分别是，.
（i） 求证：为定值；
（ii） 若点是的外接圆的圆心，判断直线的斜率是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由.
19. 已知圆：.定义第1次操作为：作半径为（单位：米）的圆与圆关于直线对称.定义第（，，）次操作为：作半径为（单位：
米）的圆，使圆与轴相切，且圆与圆、圆均外切.
（1）求圆的标准方程；
（2）求（用含有的式子表示）；
（3）当，时，求证：.
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．A
5．D
6．C
7．D
8．B
9．ABC
10．ACD
11.BCD
12．52
13．（填也可）
14．
15.（1）
（2）
（1）解：抛物线得准线方程为，
根据抛物线得定义可得：
点到抛物线焦点的距离为；
（2）解：设点，
根据抛物线得定义可得：
点到抛物线焦点的距离为，所以，
则，所以，
所以点的坐标为．
16．（1）所选条件见解析，；
（2）．
（1）选①：时，，则，
又，则是首项、公比均为的等比数列，则；
选②：时，
，显然也满足，则；
选③：时，，与题设矛盾；
（2）由（1），则，
所以时，时，则，
所以上，要使恒成立，只需．
17．（1）；
（2）证明见解析；
（3）在上单调递减，在上单调递增.
（1）由题设，则，，
所以在点处的切线方程为，
所以；
（2）当时，且，其中，，
所以，，所以恒成立，
当时，由且，且，
所以，在上恒成立，则在上单调递增，
所以，
综上，时，得证；
（3）由，则，故，
当时，恒成立，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，
当时，令，则，
令，则，即在上单调递增，
，
所以使，
所以在上，在上，
即在上单调递减，在上单调递增，
而端点值符号为，
即在上恒成立，所以在上单调递减，
综上，在上单调递减，在上单调递增.
18.
（1）由的渐近线为，则与平行或重合，
当时，直线与双曲线的公共点有个，
当时，直线与双曲线的公共点有个；
（2）（i）由题设，且可设直线，联立，
所以，则，
，
若，，则，，且，
所以
为定值，得证；
（ii）设，结合（i）有，且，，，
所以，，
联立，则，整理得，
所以，则（舍），故，
所以，同理，可得，
设圆的方程为，所以，
又，即，所以，
所以，则，
所以，得，同理，
而，则，
令，则，则
即，
令，则，故，可得，
所以，即的最小值、最大值分别为，。
19.（1）由题设，则圆心，半径，
由圆与圆关于直线对称，则，圆心，
所以；
（2）由题意可设，若，由圆与圆外切，则，
所以，则，且，，
由圆与圆外切，则，
所以，则，
当，则，即，且，
所以，则，
当，则，代入，则，
由题意知，则，，，
所以是首项为，公差为1的等差数列，则，
所以，即，，且，
所以；
（3）由题设，则，而，
所以，
，
所以，
由时，，满足，
若，也成立，
则，有
，
由
，
由，
所以，则，
所以，即也成立，
综上，，得证.
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