江苏省无锡市天一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（理科强化班）（含答案）

江苏省天一中学学年第一学期期末考试
高二数学学科（理科强化班）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，向量，，且，则（ ）
A. B.9
C.3 D.
2. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，则当时，点的横坐标为（ ）
A.2024 B.2025 C.2026 D.2027
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A.9 B.7 C.8 D.10
6. 设无穷数列的前项和为，定义，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，则
D. 当时，
7. 已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为。据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A.1 B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 若函数在定义域上单调递增，则称函数具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的长最小等于
C. 当的长最小时，平面与平面所成夹角的余弦值为
D.
11. 按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线上取一动点，作在该动点处的
切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线.下列结论正确的是（ ）
A. 点在上
B. 直线是的渐近线
C. 若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则
D. 点到上的点的距离最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 对于数列，定义为的“优值”，已知某数列的“优值”为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为.
13. 设函数在，处取得极值，且，当时，最大值记为，对于任意的，的最小值为.
14. 过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间）是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和取最小值时直线的斜率的绝对值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，点在函数的图象上，其中，，，.
（1） 求证：数列是等比数列；
（2） 设，求及数列的通项；
（3）记，求数列的前项和。
16. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，，，，底面。点为棱的中点，点为棱的中点。
（1）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（2）设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值。
17. 已知函数。
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若在上恒成立，求正整数的最大值；
（3）若在上有零点，比较与的大小。
（参考数据：，，）
18. 已知动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为。
（1）求的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：。试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，。
（i） 判断并证明直线与是否垂直？
（ii） 点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两
点.记，的面积分别为，，求的取值范围.
19. 已知数集.若的两个非空子集和满足：，
，则称集合和是的一个“分拆”.已知和是的一个分拆，表示数
集中所有元素的和.
（1）判断并证明与能否相等？
（2）若，，求；（用数值表示）
（3）若为给定的偶数，关于的方程有整数根，求的最小值，并
写出取到最小值时的所有的集合.
参考答案
1．D
2．B
3．B
4．A
5．C
6．D
7.A
8.D
9.AC
10．ABC
11．ABC
12.
13．
14.
15.（1）由已知得，则，
由，知，两边取对数得，
注意到，则有，
故是首项为，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，
故，.
（3）由，得，
则有，。
又，则。
，
由，，，故。
16.（1）
（2）
（1）因为底面，，底面，
所以，，又，
可得，，两两垂直，建立以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴的空间直角坐标系如下图，
，，，，，，
，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
可得，令，可得，；
即为平面的一个法向量，
又，令，可得，；
所以即为平面的一个法向量，
因此平面与平面所成夹角的余弦值为
，.
（2）三棱锥即为三棱锥，
由（1）中分析可知为正三角形，且边长为，
所以三棱锥是底面边长为，侧棱长为的正三棱锥，
设三棱锥的内切球球心为，半径为，
由等体积法可得，
即，解得；
设球心，，，，易知平面，且到平面的距离为
；
易知，，，
显然，，可得；
不妨取平面的一个法向量为，又，
又到平面的距离为，所以，
可得，所以，所以；
由（1）中为平面的一个法向量，
可知到平面的距离为；
因此到平面的距离的最大值为；
由易知是边长为的等边三角形，所以；
因此三棱锥体积的最大值为。
17.（1）当时，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，由，得，
时，，单调递减。
时，，单调递增。
综上，时，在上为增函数；
时，在上为减函数，在上为增函数。
（2）当时，，
因恒成立，所以，
即，，
所以正整数的最大值可能为1．
下证时，在上恒成立．
设，
则，在上单调递增，，即，
所以，又，
所以，即恒成立．
所以正整数的最大值为1．
（3）由题意设为的零点，则，
即，则点在直线上，
所以，即．
当时，设，所以，则在上单调递增，
所以，所以，又时，，
所以时，，则，
令，则，
时，，单调递减；时，，单调递增，
所以，即，所以．
18.（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，
所以，，
所以，
又，，，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，即，，
故的方程为.
（2）
（i）设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为，可得直线的斜率为：，
而直线的斜率为，
因为，所以；
（ii）由直线的方程为：，
可改设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
再由，可设直线的方程为：，
再联立，整理得，
设，，则由韦达定理得。
因为，所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
又因为，所以.
19.（1）由题可知，均为正整数.
假设，因，则.
注意到为奇数，则不为整数，
这与，均为正整数相矛盾，故；
（2）当时，.
又由题可知，
结合题意又可知，
则；
（3）设，又由（2）可知，
结合，
则.
因其有整数根，则其判别式为完全平
不然的根一定含有为无理数，与题意不符.
设，其中.
则，
因n，t，m均为正整数，则，
其中，.则.
构造函数，其中.则.
令，.则.
则在上单调递增，注意到，
则；.
得在上单调递减，在上单调递增.
则若，要取最小值，
则x应为离最近的整数，则或.
则，
其中.
则，即S（A）的最小值为.
注意到
，
则在二进制下的表示为，
因任意正整数在二进制下的表示唯一，
则当取最小值时，集合只能为。