江苏省镇江市镇江第一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案）

2024级高二上2月期末考试
数学试卷
2026.02
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是上的连续可导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分又不必要
3. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知等差数列的前项和为，且，则等于（ ）
A.17 B.18
C. D.9
5. 两条平行直线与之间的距离（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知公差不为0的等差数列的第，，，项依次构成一个等比数列，则等于（ ）
A.13 B.14 C.15 D.18
7. 将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，若函数，有大于零的极值点，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数的求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 设数列是等比数列，下列说法正确的有（ ）
A. 是等比数列
B. 是等差数列
C. 是等比数列
D. 是等比数列
11. 已知椭圆的左右顶点为A、B，点P为椭圆C上异于左右顶点的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为Q，下列说法正确的有（ ）
A.
B. 存在点P使得
C. 当点P运动到短轴端点时最大
D. 定值
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 函数的单调递增区间是_________.
13. 直线与圆相交于A，B两点，则弦长AB的最小值为____.
14. 设b为实数，若直线与曲线有两个不同的公共点，则b的取值范围____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求的周长与面积.
17. 设数列满足：，且对任意的，都有.
（1）求证：为等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）求数列的前9项和.
18. 抛物线（）的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是4.
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线的准线上，且轴；点为中点，过点向轴作垂线交抛物线于点.
求证：① ，，三点共线.
② 抛物线上点处的切线与平行.
19. 已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若有两个不同的零点，，求证：.
参考答案
1．C
2．B
3．C
4．C
5．D
6．C
7．A
8.B
9.CD
10.ABD
11.ACD
12．##
13．2
14.
15.（1）极小值，极大值
（2）
（1）当时，函数，定义域为.
.
令，则或；令，则.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为。
综上，函数的极小值为，极大值为。
（2）若函数有三个不同的零点，则方程有三个不等的实数根，即有三个不等的实数根，即直线 与函数的图象有三个不同的交点。
令，则。
令，则或；令，则。
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减。
且在处取得极小值；在处取得极大值。简图如下：
所以实数的取值范围是。
16.（1）
（2） ，
（1）设椭圆的方程为。
依题意得，，解得，则，
故椭圆的标准方程为.
（2）由题意得的周长为。
而由题意得，联立，消去整理得，
设、，则由韦达定理得，
则，
于是。
17.（1）证明见解析
（2）
(3)8149
（1）设，则。
。
故是首项为，公比为的等比数列，即为等比数列。
（2），。
所以。
（3） ，，
令……①
则……②
①-②得：
，
所以，所以。
18.（1）；准线方程
（2）①证明见解析；②证明见解析
（1）由题意得，
由抛物线的定义得，解得，即抛物线方程为，
则抛物线的准线方程为，
将代入抛物线方程得，解得。
（2）①由题意可知，直线斜率一定存在，
设直线斜率为，设，，
因为点在抛物线的准线上，且轴，则，
因为直线过点，则直线方程为，
联立，整理得，
，由韦达定理得，，
即，
易知直线，的斜率均存在，
直线斜率，直线斜率，
即，所以，，三点共线.
②由①知，
因为点为中点，则点横坐标为，由题意知点的横坐标也为，
代入抛物线方程可得，
易知在处的切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为，
联立，整理得，
所以，解得，
即抛物线上点处的切线斜率与直线斜率相等，
所以抛物线上点处的切线与平行.
19.(1)
（2）
（3）证明见解析
（1）当 时，，定义域为 ，
，
又 恒成立，
所以 在 上为增函数，
又 ，
所以当 时，，当 时，，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 为极小值点，也是最小值点， 的最小值为 .
（2）因为 ，，
且 恒成立，所以 在 为增函数，
当 时，，当 时，，
所以存在唯一零点 使得 .且 ，
即为：，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 为极小值点，也是最小值点.
，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当 时等号成立，
由于 ，所以 ，所以 .
（3）由 ，得 .
设 ，则 ，故 单调递增.
于是 ，即 ，等价于 .
设 ，求导得 ，令 ，解得 .
在 单调递增，在 单调递减，极大值为 .
因 有两个零点，故 ，不妨设 ，且 .
要证 ，只需证 .
因 ，，且 在 单调递减，故只需证 .
代入 ，只需证 .
设 ，，
则
求导得
因 ，故 ，则 ，于是 .
在 单调递增，故 ，即 .
因此 ，结合 在 单调递减，得 ，即