江苏连云港市灌南县2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏连云港市灌南县2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 60.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测
数学试题
一、单项选择题（共8小题 满分40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，，，则，（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知两直线，平行，则与间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共3小题 满分18分）
9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最大值为
C. 当时，的最大值为13
D. 数列前项和为，最大
10. 设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，，则（ ）
A.
B. 直线的斜率是
C.
D. 的面积是
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 共有3个零点
B. 既存在极大值，也存在极小值
C. 若时，，则的最大值为2
D. 若函数有2个零点，则
三、填空题（共3小题 满分15分）
12. 已知复数，则.
13. 已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是____
14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为____．
四、解答题（共5大题 满分77分）
15. 已知，，分别为的内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若的面积为，边上的高为3，求．
16. 已知圆的圆心在直线上且与轴相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
17. 已知数列中.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；
18. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点.
①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值；
②若直线的斜率存在且不为，设线段的中点为，记，的面积分别为，. 当时，求的最小值.
19. 已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（3）当时，设函数，为的导函数.证明：对任意的，有.
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．C
5．D
6．C
7.D
8.D
9.ABD
10．BCD
11.BCD
12.
13.
14.
15.（1）
（2）
（1）根据条件，
由正弦定理，得，
即，即，
因为在中，，所以，
又因为，所以
（2）因为的面积为，所以，得
由，即，所以．
由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以．
16.（1）
（2） 或
（1）因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为，
又因为圆的圆心在直线上，则圆心的纵坐标为，即，
则圆的半径，
所以圆的方程为．
（2）设圆心到直线的距离为，则，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即．
则，解得或，
所以直线的方程为或．
综上所述，直线的方程为或．
17．（1）证明见解析
（2）
（1）由，得，即，
又，有，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，则有，
①，
②，
，
，即.
18.（1）
（2）① 证明见解答，定值；②
（1）根据题意，得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）（i）证明：设四边形的面积为，
由（1）得，椭圆的焦点，
因为直线的垂直平分线段，所以，
当直线与轴重合时，此时，，
。
由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知。
当直线与轴不重合时，设直线方程为。
，，
。
，则直线的方程为，联立椭圆方程，
得，解得。
。
。
。
综上所述，四边形的面积为定值。
（ii）易知，，又，
直线的斜率存在且不为，
。
由（i）知，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时
故的最小值为.
19.（1）答案见解答；
（2）
（3）证明见解答.
（1）当，，所以，
显然或时，，即此时单调递增；
时，，即此时单调递减；
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）易知，
若有两个极值点，等价于有两个不同的变号零点，
令，即有两个不同的变号零点，
则，
易知时，，或时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
在时，取得极小值也是最小值，
在时，取得极大值，
又，时，，，
，
作出大致图象如下：
要使得有两个不同根，需，有两个不同交点，
由题意可知，
注意到时，此时在零点的左右附近，
均有，即，不符合题意，舍去；
所以；
（3）易知，，，
所以，
，
要证，即证，
不妨设，即证，
设，，即证
令，，
易知，即单调递增，
所以，证毕.
数学试题
一、单项选择题（共8小题 满分40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，，，则，（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知两直线，平行，则与间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共3小题 满分18分）
9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最大值为
C. 当时，的最大值为13
D. 数列前项和为，最大
10. 设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，，则（ ）
A.
B. 直线的斜率是
C.
D. 的面积是
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 共有3个零点
B. 既存在极大值，也存在极小值
C. 若时，，则的最大值为2
D. 若函数有2个零点，则
三、填空题（共3小题 满分15分）
12. 已知复数，则.
13. 已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是____
14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为____．
四、解答题（共5大题 满分77分）
15. 已知，，分别为的内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若的面积为，边上的高为3，求．
16. 已知圆的圆心在直线上且与轴相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
17. 已知数列中.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；
18. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点.
①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值；
②若直线的斜率存在且不为，设线段的中点为，记，的面积分别为，. 当时，求的最小值.
19. 已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（3）当时，设函数，为的导函数.证明：对任意的，有.
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．C
5．D
6．C
7.D
8.D
9.ABD
10．BCD
11.BCD
12.
13.
14.
15.（1）
（2）
（1）根据条件，
由正弦定理，得，
即，即，
因为在中，，所以，
又因为，所以
（2）因为的面积为，所以，得
由，即，所以．
由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以．
16.（1）
（2） 或
（1）因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为，
又因为圆的圆心在直线上，则圆心的纵坐标为，即，
则圆的半径，
所以圆的方程为．
（2）设圆心到直线的距离为，则，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即．
则，解得或，
所以直线的方程为或．
综上所述，直线的方程为或．
17．（1）证明见解析
（2）
（1）由，得，即，
又，有，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，则有，
①，
②，
，
，即.
18.（1）
（2）① 证明见解答，定值；②
（1）根据题意，得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）（i）证明：设四边形的面积为，
由（1）得，椭圆的焦点，
因为直线的垂直平分线段，所以，
当直线与轴重合时，此时，，
。
由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知。
当直线与轴不重合时，设直线方程为。
，，
。
，则直线的方程为，联立椭圆方程，
得，解得。
。
。
。
综上所述，四边形的面积为定值。
（ii）易知，，又，
直线的斜率存在且不为，
。
由（i）知，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时
故的最小值为.
19.（1）答案见解答；
（2）
（3）证明见解答.
（1）当，，所以，
显然或时，，即此时单调递增；
时，，即此时单调递减；
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）易知，
若有两个极值点，等价于有两个不同的变号零点，
令，即有两个不同的变号零点，
则，
易知时，，或时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
在时，取得极小值也是最小值，
在时，取得极大值，
又，时，，，
，
作出大致图象如下：
要使得有两个不同根，需，有两个不同交点，
由题意可知，
注意到时，此时在零点的左右附近，
均有，即，不符合题意，舍去；
所以；
（3）易知，，，
所以，
，
要证，即证，
不妨设，即证，
设，，即证
令，，
易知，即单调递增，
所以，证毕.
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