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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
（第2课时）
1．类比二次根式乘法法则的得出过程，得到二次根式的除法法则；
2．理解并掌握二次根式除法法则的应用，并会逆用法则进行化简．
1．说一说二次根式的乘法法则．
(a≥0，b≥0)．
即：两个二次根式相乘，先将它们的被开方数相乘，再对所得的积取算术平方根．
2．说一说怎样逆用二次根式的乘法法则对二次根式进行化简？
(a≥0，b≥0)．
同学们，我们已经掌握了二次根式的乘法法则，知道 (a≥0，b≥0)．那如果反过来，两个二次根式相除，又该如何计算呢？下面我们就一起来探究二次根式的除法．
探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）＝___________，＝___________；
（2）＝___________，＝___________；
（3） ＝___________，＝___________ ．
＝
＝
＝
一般地，二次根式的除法法则是
(a≥0，b>0)．
即：两个二次根式相除，先将它们的被开方数相除，再对所得的商取算术平方根．
例1：计算.
（1） ； （2） ．
解：（1） = = = =
（2） = = = =
逆用二次根式的除法法则：
把 (a≥0，b>0)反过来，就得到
(a≥0，b>0) ，
利用它可以进行二次根式的化简．
例2：化简.
（1） ； （2） ．
解：（1） = =
（2） = = =
例3：设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b ．已知S=，b= ，求a ．
解：因为S=ab，所以
= = =
二次根式化简的结果中被开方数不含分母
= == =
牛刀小试
【知识技能类练习】必做题：
1．计算：（ ）
A． B． C．3 D．2
B
【知识技能类练习】必做题：
2．计算： ．
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1)． (2)（）．
解：（1）原式．
（2）原式．
【知识技能类练习】选做题：
4．化简：(1) ；(2) ；(3) ；(4)（其中）
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）∵，且，∴，
∴．
【综合拓展类练习】
5．已知一个长方体的体积是，宽是，高是，求它的长．
解：∵一个长方体的体积是，宽是，高是，
∴它的长为（）．
答：它的长为2
二次根式的除法
(a≥0，b>0)
(a≥0，b>0)
【知识技能类作业】必做题：
1．计算：（ ）.
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．计算： .
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1)； (2)
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类作业】选做题：
4．化去下列各式分母中的根号：
(1)； (2)； (3)； (4)
解：（1）；（2）；
（3）；（4）．
【综合拓展类作业】
5．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b．
(1)若，，求b；
(2)若，，求a．
解：（1）根据题意得：b ；
（2）根据题意得：a ．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 19.2 二次根式的乘法与除法（第2课时） 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．类比二次根式乘法法则的得出过程，得到二次根式的除法法则； 2．理解并掌握二次根式除法法则的应用，并会逆用法则进行化简．
重点 掌握二次根式的除法法则及化简方法，能正确进行二次根式的除法运算与化简．
难点 理解二次根式除法法则的推导过程，以及在化简时确保被开方数不含分母．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说二次根式的乘法法则． 2．说一说怎样逆用二次根式的乘法法则对二次根式进行化简？
新知探究 本节课来研究： 本节我们类比二次根式的乘法法则的研究过程，研究二次根式的除法。 探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）＝___________，＝___________； （2）＝___________，＝___________； （3）＝___________，＝___________ ． 归纳：一般地，二次根式的除法法则是 (a≥0，b>0)． 即：两个二次根式相除，先将它们的被开方数______，再对所得的____取算术平方根． 例1：计算. （1）； （2）． 注意：逆用二次根式的除法法则： 把 (a≥0，b>0)反过来，就得到 (a≥0，b>0) ， 利用它可以进行二次根式的化简． 例2：化简. （1）； （2）． 例3：设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知S=，b= ，求a． 提示：二次根式化简的结果中被开方数不含分母．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算：（ ） A． B． C．3 D．2 2．计算： ． 3．计算： (1)． (2)（）． 选做题： 4．化简： (1) (2) (3) (4)（其中） 【综合拓展类练习】 5．已知一个长方体的体积是，宽是，高是，求它的长．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算：（ ）. A． B． C． D． 2．计算： . 3．计算： (1) (2) 选做题： 4．化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) (4) 【综合拓展类作业】 5．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a．
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分课时教学设计
第四课时《19.2 二次根式的乘法与除法（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级下册“二次根式”单元的核心内容之一，是在学生掌握二次根式的概念、性质及乘法法则的基础上，进一步学习二次根式的除法运算．它既是对整式除法、分数除法等已有运算经验的延伸，也是后续学习一元二次方程、勾股定理及二次函数等内容的重要基础．通过探究二次根式的除法法则，学生能深化对“运算一致性”的理解，体会从特殊到一般的数学思想；同时，二次根式的化简要求被开方数不含分母和开得尽方的因数，这为后续代数运算的规范性奠定了基础，在整个初中代数知识体系中起到承上启下的关键作用．
学习者分析 八年级下学期的学生已具备整式运算、分数运算及二次根式乘法的基础，对“逆运算”思想有初步认知，能够通过观察、归纳发现简单的数学规律．但他们对二次根式除法法则的推导过程理解不够深入，容易忽略法则中a≥0，b>0的限制条件；同时，在化简二次根式时，常出现分母仍含根号或被开方数未完全化简的问题，需要通过针对性练习强化运算的规范性和严谨性．
教学目标 1．类比二次根式乘法法则的得出过程，得到二次根式的除法法则； 2．理解并掌握二次根式除法法则的应用，并会逆用法则进行化简．
教学重点 掌握二次根式的除法法则及化简方法，能正确进行二次根式的除法运算与化简．
教学难点 理解二次根式除法法则的推导过程，以及在化简时确保被开方数不含分母．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．类比二次根式乘法法则的得出过程，得到二次根式的除法法则； 2．理解并掌握二次根式除法法则的应用，并会逆用法则进行化简．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说二次根式的乘法法则． 答案： (a≥0，b≥0)． 即：两个二次根式相乘，先将它们的被开方数相乘，再对所得的积取算术平方根． 2．说一说怎样逆用二次根式的乘法法则对二次根式进行化简？ 答案： (a≥0，b≥0)． 导言：同学们，我们已经掌握了二次根式的乘法法则，知道 (a≥0，b≥0)．那如果反过来，两个二次根式相除，又该如何计算呢？下面我们就一起来探究二次根式的除法．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习已学过的二次根式知识，为引出本节课的新知作铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）＝___________，＝___________； （2）＝___________，＝___________； （3）＝___________，＝___________ ． 预设： （1），，＝ （2），，＝ （3），，＝ 归纳：一般地，二次根式的除法法则是 (a≥0，b>0)． 即：两个二次根式相除，先将它们的被开方数相除，再对所得的商取算术平方根． 例1：计算. （1）； （2）． 解：（1）==== （2）==== 指出：逆用二次根式的除法法则： 把 (a≥0，b>0)反过来，就得到 (a≥0，b>0) ， 利用它可以进行二次根式的化简． 例2：化简. （1）； （2）． 解：（1）== （2）=== 例3：设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知S=，b= ，求a． 解：因为S=ab，所以 ======= 指出：二次根式化简的结果中被开方数不含分母．学生活动3： 学生小组合作探究，并班内交流汇报，然后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过类比二次根式的乘法法则的研究过程，从具体例子出发，引导学生逐步抽象出二次根式的除法运算规律，通过例题巩固学生对二次根式除法法则的理解及应用．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：19.2 二次根式的乘法与除法（第2课时） 一、二次根式的除法法则 (a≥0，b>0) 二、逆用二次根式的除法法则 (a≥0，b>0)教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算：（ ） A． B． C．3 D．2 答案：B 2．计算： ． 答案： 3．计算： (1)． (2)（）． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 选做题： 4．化简： (1) (2) (3) (4)（其中） 解：（1）． （2）． （3）． （4）∵，且， ∴， ∴． 【综合拓展类练习】 5．已知一个长方体的体积是，宽是，高是，求它的长． 解：∵一个长方体的体积是，宽是，高是， ∴它的长为（）． 答：它的长为2．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算：（ ）. A． B． C． D． 答案：A 2．计算： . 答案： 3．计算： (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) (4) 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【综合拓展类作业】 5．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 解：（1）根据题意得：b ； （2）根据题意得：a ．
教学反思 本节课通过情境导入和探究活动，引导学生自主发现二次根式的除法法则，较好地调动了学生的积极性。但在教学中发现，部分学生对法则中a≥0，b>0的条件理解不透彻，化简时仍存在分母含根号的问题。后续教学中，应增加针对性的辨析练习，强化对运算条件的理解，同时通过分层作业满足不同层次学生的需求，提升运算的准确性和规范性。
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