人教版（2024版）八下数学 19.2 二次根式的乘法与除法（第3课时）同步练习（含解析）

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19.2 二次根式的乘法与除法（第3课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．将化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．计算结果为（ ）
A． B． C． D．
5．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（ ）
A．1 B．0 C． D．
二、填空题
6．写出一个小于4的最简二次根式 ．（写出一个即可）
7．在中，是最简二次根式的是
8．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个．
9．若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ．
10．对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则 ．
三、解答题
11．计算：
(1)． (2)．
12．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号）
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
答案与解析
19.2 二次根式的乘法与除法（第3课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查最简二次根式的判定，需根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项．
解：对于选项A：，被开方数是分数，不是最简二次根式；
对于选项B：，被开方数是分数，不是最简二次根式；
对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
对于选项D：的被开方数30分解质因数为，不含能开得尽方的因数，且不含分母，符合最简二次根式的定义；
故选：D．
2．将化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题考查最简二次根式，利用二次根式的性质化简根式，并通过分母有理化得到最简形式即可.
解：；
故选A.
3．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项.
解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式；
② ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③ ，含平方因数，不是最简二次根式；
④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式．
∴ 最简二次根式有①和⑤，共个.
故选：B．
4．计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可．
解：
，
故选：B．
5．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键
根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可．
解：，
，当时，，不是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式，
故可取的最小整数为，
故选：D．
二、填空题
6．写出一个小于4的最简二次根式 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开得尽的因数或因式，据此进行作答即可．
解：写出一个小于4的最简二次根式可以为；
故答案为：（答案不唯一）
7．在中，是最简二次根式的是
【答案】
【解析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可．
解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式；
被开方数含分母，不是最简二次根式；
被开方数含分母，不是最简二次根式，
故答案为：．
8．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个．
【答案】5
【解析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数．
解：∵是最简二次根式，
∴被开方数为不含完全平方因数的正整数，
由且为正整数，可知的可能取值为。
分别分析：
当时，，是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式；
当时，，，不是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式；
当时，，，不是最简二次根式．
∴满足条件的正整数x的值为，共个．
故答案为：．
9．若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ．
【答案】0或1或3或4或5或7或9
【解析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义即可求解．
解：∵都是最简二次根式，而，，，
∴均不是最简二次根式，
故答案为：0或1或3或4或5或7或9．
10．对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则 ．
【答案】
【解析】本题考查新定义的实数运算，二次根式的乘除混合运算，根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
解：∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题
11．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)1
(2)
解：本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键．
（1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简；
（2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
12．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号）
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
【答案】(1)
(2)会产生危害，严禁高空抛物．
【解析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
（1）根据公式，代入计算即可．
（2）先根据公式，求得高度，再根据能量计算公式计算，进一步判断得解．
解：（1）当时，
答：物体从的高空落到地面的时间为．
（2）当时，，解得，
已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）的计算公式为，其中为物体质量（单位：），为高度（单位：m）
∴，
∵，
∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物．
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