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同步探究学案
课题 19.3 二次根式的加法与减法（第2课时） 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．让学生经历整式运算与二次根式运算的比较，体会类比思想，探究二次根式混合运算的运算顺序及运算法则，培养学生的观察、探索、归纳的能力． 2．体会二次根式的运算与有理数运算、整式运算以及分式运算的联系．
重点 掌握二次根式混合运算的顺序和方法，能正确运用整式运算法则和乘法公式进行计算．
难点 灵活运用乘法公式简化二次根式混合运算，避免运算中的常见错误．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．二次根式的乘法法则是什么？除法法则呢？ 2．二次根式的加减法的法则是什么？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助分配律、整式的乘法法则和乘法公式，研究二次根式的混合运算。 例1：计算． （1）；（2）；（3）． 归纳：二次根式的混合运算顺序：先算______（或______），再算______，最后算______，有括号的先算______内的． 提示：如果计算结果含有二次根式，要将二次根式化为______二次根式． 例2：计算． （1）； （2）． 例3：计算． （1）； （2）． 归纳：在二次根式的运算中，实数的运算律、整式的乘法法则和乘法公式仍然适用． 提示：灵活应用运算律、整式的乘法法则和乘法公式可减少运算步骤，并且运算结果不易出错．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 2．计算下列各题： (1)； (2)． 3．若，，则代数式的值为 ． 选做题： 4．已知，则代数式的值为（ ） A．25 B． C．3 D．5 【综合拓展类练习】 5．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（ ） A． B． C．－3 D．3 3．计算： (1)； (2)； (3)． 选做题： 4．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 【综合拓展类作业】 5．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：）？
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分课时教学设计
第七课时《19.3 二次根式的加法与减法（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级下册第19章第3节“二次根式的加法与减法”第2课时，是在学生掌握二次根式的概念、性质及加减乘除运算的基础上，进一步学习二次根式的混合运算．它既是对整式运算、乘法公式等旧知的迁移与深化，又为后续学习一元二次方程、勾股定理等内容奠定了运算基础．通过将整式的运算法则和乘法公式类比应用到二次根式中，帮助学生构建“数与式”运算的统一认知，提升运算能力和逻辑推理能力，在整个初中代数运算体系中起到承上启下的关键作用．
学习者分析 学生已经具备了整式运算、因式分解及二次根式加减乘除运算的基础，对“类比迁移”的数学思想有一定的认知．但他们在处理二次根式混合运算时，容易出现符号错误、忽略运算顺序、对乘法公式的应用条件理解不透彻等问题．同时，部分学生对二次根式的化简不够熟练，容易在运算过程中混淆二次根式与整式的运算规则，需要通过针对性的练习和引导，帮助他们突破认知障碍，形成规范的运算习惯．
教学目标 1．让学生经历整式运算与二次根式运算的比较，体会类比思想，探究二次根式混合运算的运算顺序及运算法则，培养学生的观察、探索、归纳的能力． 2．体会二次根式的运算与有理数运算、整式运算以及分式运算的联系．
教学重点 掌握二次根式混合运算的顺序和方法，能正确运用整式运算法则和乘法公式进行计算．
教学难点 灵活运用乘法公式简化二次根式混合运算，避免运算中的常见错误．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．让学生经历整式运算与二次根式运算的比较，体会类比思想，探究二次根式混合运算的运算顺序及运算法则，培养学生的观察、探索、归纳的能力． 2．体会二次根式的运算与有理数运算、整式运算以及分式运算的联系．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．二次根式的乘法法则是什么？除法法则呢？ 预设： (a≥0，b≥0) (a≥0，b>0) 2．二次根式的加减法的法则是什么？ 预设：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并． 导入：我们已经掌握了二次根式的加减乘除运算，也熟悉整式的乘除和乘法公式．今天，我们要把这些知识 “融合” 起来，来学习二次根式的混合运算． 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习学过的二次根式运算的知识，为本节课的新知做好铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 例1：计算． （1）； （2）； （3）． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 归纳：二次根式的混合运算顺序：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的． 提示：如果计算结果含有二次根式，要将二次根式化为最简二次根式． 例2：计算． （1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 例3：计算． （1）； （2）． 解：（1） = = =； （2） = = =2． 归纳：在二次根式的运算中，实数的运算律、整式的乘法法则和乘法公式仍然适用． 提示：灵活应用运算律、整式的乘法法则和乘法公式可减少运算步骤，并且运算结果不易出错．学生活动3： 学生先尝试独立计算，然后小组合作探究并派代表板演讲解，最后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过例题掌握二次根式混合运算顺序，体会实数的运算律、整式的乘法法则和乘法公式在二次根式混合运算中仍然适用并能简化运算，提高学生的计算能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：19.3二次根式的加法与减法（第2课时）一、二次根式混合运算顺序 二、利用运算律、整式的乘法法则和乘法公式可简化运算教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 答案：A 2．计算下列各题： (1)； (2)． 解：（1）； （2） ． 3．若，，则代数式的值为 ． 答案：31 选做题： 4．已知，则代数式的值为（ ） A．25 B． C．3 D．5 答案：D 【综合拓展类练习】 5．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 解：（1）长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．计算的结果是（ ） A． B． C．－3 D．3 答案：B 3．计算： (1)； (2)； (3)． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 选做题： 4．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 答案： 【综合拓展类作业】 5．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：）？ 解：（1）由题意得，通道的总面积为： ， 答：通道的总面积为； （2）由（1）小问可知：通道的总面积为：， 购买地砖需要花费：（元）， 答：购买地砖需要花费元．
教学反思 本课通过类比整式运算引入二次根式混合运算，学生能较快理解运算规则，但在实际应用中仍存在化简不彻底、公式误用等问题．后续教学中应增加分层练习，强化易错点的针对性训练，同时引导学生主动反思运算过程，培养严谨的运算习惯，提升运算的准确性和熟练度．
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第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
（第2课时）
1．让学生经历整式运算与二次根式运算的比较，体会类比思想，探究二次根式混合运算的运算顺序及运算法则，培养学生的观察、探索、归纳的能力．
2．体会二次根式的运算与有理数运算、整式运算以及分式运算的联系．
1．二次根式的乘法法则是什么？除法法则呢？
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b>0)
2．二次根式的加减法的法则是什么？
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．
我们已经掌握了二次根式的加减乘除运算，也熟悉整式的乘除和乘法公式．今天，我们要把这些知识 “融合” 起来，来学习二次根式的混合运算．
在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用．
例1：计算．
(1)；(2)；(3)．
解：（1）
；
（2）
；
例1：计算．
(1)；(2)；(3)．
解：（3）
．
二次根式的混合运算顺序
先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
如果计算结果含有二次根式，要将二次根式化为最简二次根式．
例2：计算．
（1）； （2）．
解：（1）
；
（2）
．
例3：计算．
（1）； （2）．
解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=2．
在二次根式的运算中，实数的运算律、整式的乘法法则和乘法公式仍然适用．
灵活应用运算律、整式的乘法法则和乘法公式可减少运算步骤，并且运算结果不易出错．
小试牛刀
【知识技能类练习】必做题：
1．计算：（ ）
A．1 B．2 C． D．3
A
【知识技能类练习】必做题：
2．计算下列各题：
(1)； (2)．
解：（1）
=
=
=
=
=
（2）
=
=
=
=．
【知识技能类练习】必做题：
3．若，，则代数式的值为 ．
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【知识技能类练习】选做题：
4．已知，则代数式的值为（ ）
A．25 B． C．3 D．5
D
【综合拓展类练习】
5．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
【综合拓展类练习】
解：（1）长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
二次根式的混合运算
利用运算律、整式的乘法法则和乘法公式可简化运算
运算顺序
【知识技能类作业】必做题：
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．计算的结果是（ ）
A． B． C．－3 D．3
B
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：(1)； (2)；
(3)．
解：（1）；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=．
【知识技能类作业】选做题：
4．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ．
【综合拓展类作业】
5．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道．
(1)求通道的总面积；
(2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：）？
【综合拓展类作业】
解：（1）由题意得，通道的总面积为：
，
答：通道的总面积为；
（2）由（1）小问可知：通道的总面积为：，
购买地砖需要花费：
（元），
答：购买地砖需要花费元．
