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第十九章 二次根式
第19章 二次根式
章末复习
1．了解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子．
2．能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
3．能用二次根式解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系．
二次根式
二次根式的概念
二次根式的性质
二次根式的运算
二次根式的乘除
二次根式的加减
二次根式的混合运算
最简二次根式
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？
3．请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则．
4．回顾整式、分式、二次根式等代数式的学习内容和学习方法，你有什么体会？
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？
根据二次根式的定义可知，满足是二次根式的条件是a≥0．
因此当 x≥0 时，在实数范围内有意义．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？
：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
3．请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则．
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b>0)
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
4．回顾整式、分式、二次根式等代数式的学习内容和学习方法，你有什么体会？
（1）学习脉络一致，均按概念→性质→运算的顺序展开，层层递进理解知识．
（2）运算可类比迁移，整式的运算法则、乘法公式适用于二次根式，分式化简要求与二次根式最简要求相通．
（3）核心思想统一，以字母表示数为基础，依托有理数运算法则和运算律进行符号运算。注重提升符号意识、运算能力和推理能力．
考点一：二次根式的相关概念及有意义的条件
例1：下列式子是二次根式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
A．个 B．个 C．个 D．个
C
例2：若代数式有意义，则的取值范围是 ．
且
确定二次根式中字母的取值范围：
（1）若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数大于或等于0，列出不等式（组）求解；若二次根式在实数范围内无意义，则被开方数小于0，列出不等式（组）求解．
（2）若一个式子的分母是二次根式，则必须满足分母中的被开方数大于0这个条件，从而列不等式（组）求解．
考点一：二次根式的相关概念及有意义的条件
考点二：二次根式的性质
例3：小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法：
问题 解法
已知，，试用含，的式子表示
利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示．
解：=
=．
（1）利用双重非负性（≥0且a≥0）解题，常结合多个非负数和为0的条件，推出每个非负数均为0；
（2）巧用()2=a(a≥0)，可将非负数化为平方形式，也可用于二次根式的化简与计算；
（3）运用=∣a∣化简时，先判断被开方数中底数的正负，再去绝对值符号，避免符号错误；
（4）结合乘除法法则的逆运算(a≥0，b≥0)、(a≥0，b>0)，化简二次根式．
考点二：二次根式的性质
考点三：二次根式的运算及其应用
例4：计算
(1)； (2)
解：（1）
；
（2）
．
（1）在二次根式的运算过程中，每一个二次根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和（或差）可以看作“多项式”；
（2）有理数（或整式）中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
（3）二次根式的运算结果必须是最简二次根式．
考点三：二次根式的运算及其应用
考点四：二次根式的化简求值
例5：先化简再求值：，其中．
解：依题意，，
则，
；
把代入，
得．
当遇到已知条件中字母的值比较复杂且不能化简，直接代入求值比较烦琐时，一般是先对已知条件和待求问题进行变形整理，然后采用整体代入的方法进行求值．
考点四：二次根式的化简求值
【知识技能类练习】必做题：
1．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．为一切实数
B
【知识技能类练习】必做题：
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．计算
(1)； (2)．
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类练习】选做题：
4．若，则 ．
【综合拓展类练习】
5．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，与互为有理化因式，完成下列各题．
(1)化简：；(2)、哪个数离数字更近？并说明理由．
【综合拓展类练习】
解：（1）；
（2），，
∵，
∴，
∴，
∴离数字更近．
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
A
【知识技能类作业】必做题：
2．下列二次根式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1) (2)
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识技能类作业】选做题：
4．先化简，再求值：，其中．
解：
，
，
∴，
，
∴
原式 ．
【综合拓展类作业】
5．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为______，此时_____；
(2)当时，求的最小值，并求此时的值；
(3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农
作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩
形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值．
2
1
【综合拓展类作业】
解：（2），
， 的最小值为5
此时，．
（3）设，则，，
，，，
．
∴矩形地块面积的最大值为．
此时矩形地块的长与宽的值均为．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 第19章 二次根式 章末复习 单元 第19章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．了解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子． 2．能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 3．能用二次根式解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系．
重点 二次根式的性质与四则运算．
难点 二次根式性质的灵活运用及混合运算中的符号处理．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？ 3．请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则． 4．回顾整式、分式、二次根式等代数式的学习内容和学习方法，你有什么体会？ 考点梳理： 考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件 例1：下列式子是二次根式的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 例2：若代数式有意义，则的取值范围是 ． 归纳：确定二次根式中字母的取值范围： （1）若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数大于或等于0，列出不等式（组）求解；若二次根式在实数范围内无意义，则被开方数小于0，列出不等式（组）求解． （2）若一个式子的分母是二次根式，则必须满足分母中的被开方数大于0这个条件，从而列不等式（组）求解． 考点二 二次根式的性质 例3：小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题解法已知，，试用含，的式子表示
利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 归纳：（1）利用双重非负性（≥0且a≥0）解题，常结合多个非负数和为0的条件，推出每个非负数均为0； （2）巧用()2=a(a≥0)，可将非负数化为平方形式，也可用于二次根式的化简与计算； （3）运用=∣a∣化简时，先判断被开方数中底数的正负，再去绝对值符号，避免符号错误； （4）结合乘除法法则的逆运算(a≥0，b≥0)、(a≥0，b>0)，化简二次根式． 考点三 二次根式的运算及其应用 例4：计算 (1)； (2) 归纳：（1）在二次根式的运算过程中，每一个二次根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和（或差）可以看作“多项式”； （2）有理数（或整式）中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； （3）二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 考点四 二次根式的化简求值 例5：先化简再求值：，其中． 归纳：当遇到已知条件中字母的值比较复杂且不能化简，直接代入求值比较烦琐时，一般是先对已知条件和待求问题进行变形整理，然后采用整体代入的方法进行求值．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．为一切实数 2．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．计算 (1)； (2)． 选做题： 4．若，则 ． 【综合拓展类练习】 5．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，与互为有理化因式，完成下列各题． (1)化简：； (2)、哪个数离数字更近？并说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列二次根式运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1) (2) 选做题： 4．先化简，再求值：，其中． 【综合拓展类作业】 5．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值．
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分课时教学设计
第十课时《第19章 二次根式 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章“二次根式”是人教版八年级下册的重要代数内容，承接了七年级所学的整式、分式等代数式知识，同时又为后续学习勾股定理、一元二次方程以及函数等内容奠定了坚实的运算基础．它在算术平方根的基础上，系统地研究了二次根式的概念、性质和运算，将数的范围从有理数拓展到了实数，完成了初中阶段数系扩充的重要一环．二次根式的化简与运算，不仅是对整式、分式运算的巩固和深化，更是培养学生运算能力、推理能力和符号意识的关键载体，在整个初中数学知识体系中起到了承上启下的核心作用．
学习者分析 学生已经掌握了整式、分式等代数式的运算方法，具备了一定的算术平方根知识和符号运算能力，这为学习二次根式提供了必要的知识储备．但他们在理解二次根式的双重非负性、灵活运用性质进行化简，以及区分最简二次根式与同类二次根式等概念时，容易出现混淆和错误．同时，学生在将二次根式运算与整式运算进行类比迁移时，可能会因思维定势而产生负迁移，需要教师在教学中加以引导和纠正．
教学目标 1．了解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子． 2．能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 3．能用二次根式解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系．
教学重点 二次根式的性质与四则运算．
教学难点 二次根式性质的灵活运用及混合运算中的符号处理．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子． 2．能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 3．能用二次根式解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 预设：根据二次根式的定义可知，满足是二次根式的条件是a≥0． 因此当 x≥0 时，在实数范围内有意义． 2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？ 预设：： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式． 3．请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则． 预设： (a≥0，b≥0) (a≥0，b>0) 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并． 4．回顾整式、分式、二次根式等代数式的学习内容和学习方法，你有什么体会？ 预设：（1）学习脉络一致，均按概念→性质→运算的顺序展开，层层递进理解知识． （2）运算可类比迁移，整式的运算法则、乘法公式适用于二次根式，分式化简要求与二次根式最简要求相通． （3）核心思想统一，以字母表示数为基础，依托有理数运算法则和运算律进行符号运算。注重提升符号意识、运算能力和推理能力．学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：二次根式的相关概念及有意义的条件 例1：下列式子是二次根式的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 答案：C 例2：若代数式有意义，则的取值范围是 ． 答案：且 归纳：确定二次根式中字母的取值范围： （1）若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数大于或等于0，列出不等式（组）求解；若二次根式在实数范围内无意义，则被开方数小于0，列出不等式（组）求解． （2）若一个式子的分母是二次根式，则必须满足分母中的被开方数大于0这个条件，从而列不等式（组）求解． 考点二：二次根式的性质 例3：小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题解法已知，，试用含，的式子表示
利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 解： = =． 归纳：（1）利用双重非负性（≥0且a≥0）解题，常结合多个非负数和为0的条件，推出每个非负数均为0； （2）巧用()2=a(a≥0)，可将非负数化为平方形式，也可用于二次根式的化简与计算； （3）运用=∣a∣化简时，先判断被开方数中底数的正负，再去绝对值符号，避免符号错误； （4）结合乘除法法则的逆运算(a≥0，b≥0)、(a≥0，b>0)，化简二次根式． 考点三：二次根式的运算及其应用 例4：计算 (1)； (2) 解：（1） ； （2） ． 归纳：（1）在二次根式的运算过程中，每一个二次根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和（或差）可以看作“多项式”； （2）有理数（或整式）中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； （3）二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 考点四：二次根式的化简求值 例5：先化简再求值：，其中． 解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 归纳：当遇到已知条件中字母的值比较复杂且不能化简，直接代入求值比较烦琐时，一般是先对已知条件和待求问题进行变形整理，然后采用整体代入的方法进行求值．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对本章所学知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系。
板书设计 课题：第19章 二次根式 章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1. 二次根式的相关概念及有意义的条件 2. 二次根式的性质 3. 二次根式的运算及其应用 4. 二次根式的化简求值教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．为一切实数 答案：B 2．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．计算 (1)； (2)． 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．若，则 ． 答案： 【综合拓展类练习】 5．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，与互为有理化因式，完成下列各题． (1)化简：； (2)、哪个数离数字更近？并说明理由． 解：（1） ； （2），， ∵， ∴， ∴， ∴离数字更近．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 答案：A 2．下列二次根式运算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．计算： (1) (2) 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 选做题： 4．先化简，再求值：，其中． 解： ， ， ∴， ， ∴ 原式 ． 【综合拓展类作业】 5．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 解：（1）当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； （2）， ， 的最小值为5 此时，． （3）设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为．
教学反思 本课通过知识结构图帮助学生梳理了二次根式的知识体系，在回顾与思考环节引导学生主动建构知识．但在教学中发现，部分学生对二次根式的双重非负性理解不够深入，在化简运算时容易忽略符号问题．后续教学中，应增加针对性的练习，强化对性质的理解和运用，同时注重引导学生进行知识类比，提升运算的准确性和灵活性．
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