人教版（2024版）八下数学 第19章 二次根式 章末复习 同步练习（含解析）

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第19章 二次根式 章末复习 同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．以下各式不论为何实数，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
5．化简后等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如果两个最简二次根式与能合并，那么 ．
7．计算： ．
8．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 ．
9．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ．
10．观察下列等式：
，，…，则前10个等式的和是 ．
三、解答题
11．计算：
(1)
(2)
12．已知，求的值．小华是这样分析与解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)求的值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
答案与解析
第19章 二次根式 章末复习 同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查二次根式的性质及运算，需根据二次根式的相关法则逐一判断选项．
解：∵，∴A选项错误.
∵，∴B选项错误.
∵，∴C选项正确.
∵，∴D选项错误.
故选：C．
2．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是掌握二次根式的化简法则．
先将所有二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同，被开方数相同的二次根式为同类二次根式，能合并，反之则不能．
解：∵ ，
对于选项A： ，其最简形式被开方数为3，与的被开方数相同，能合并；
对于选项B： ，其最简形式被开方数为2，与的被开方数不同，不能合并；
对于选项C：的被开方数为3，与的被开方数相同，能合并；
对于选项D： ，其最简形式被开方数为3，与的被开方数相同，能合并；
故选：B．
3．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题．
解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的面积为，
故选：B．
4．以下各式不论为何实数，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，逐一分析各选项是否存在使式子无意义的实数，进而确定正确选项．
解：∵二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0
对于选项A：当即时，分母，分式无意义，故A不符合题意．
对于选项B：当时，分母，分式无意义，故B不符合题意．
对于选项C：当时，被开方数，二次根式无意义；且当时，分母，分式无意义，故C不符合题意．
对于选项D：∵不论为何实数，，
∴，二次根式有意义；
又∵，
∴，分母不为，分式有意义，故D符合题意．
故选：D．
5．化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可．
解：∵被开方数非负，
∴，
∵，
∴，即，
∴且，
∴，
故选：C．
二、填空题
6．如果两个最简二次根式与能合并，那么 ．
【答案】
【解析】本题主要考查了同类二次根式，两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可．
解：两个最简二次根式 与 能合并，
与 的被开方数相同，
，
解得：．
故答案为：.
7．计算： ．
【答案】
【解析】本题考查二次根式的混合运算，观察算式，发现符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可．
解：
；
故答案为：．
8．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 ．
【答案】
【解析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键．
先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长．
解：长方形的面积为，
∵正方形的面积与长方形相等，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
9．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ．
【答案】/
【解析】本题考查了利用二次根式的性质化简，数轴，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握．
由数轴可得，，则，，再把化为，然后去绝对值，进行整式的加减运算即可．
解：由数轴可得，
∴，
∴
，
故答案为：．
10．观察下列等式：
，，…，则前10个等式的和是 ．
【答案】
【解析】本题考查了裂项相消法的应用，掌握将等式展开后，抵消中间重复的正负项来简化计算是解题的关键．
先写出前 10 个等式的具体展开形式，再通过裂项相消，计算最终的和．
解：第1个等式：
第2个等式：
……
第9个等式：
第10个等式：
故答案为：．
三、解答题
11．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解答本题的关键．
（1）先利用绝对值、二次根式的乘法，立方根计算即可解答；
（2）利用乘法公式计算即可解答．
解：（1）
；
（2）
．
12．已知，求的值．小华是这样分析与解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)求的值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)3
(2)
(3)，见解析
【解析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键．
（1）结合题意，求得，然后化简求值即可；
（2）将原式整理为，即可获得答案；
（3）通过比较两式倒数的大小来判断原两式的大小，计算其倒数时可使用分母有理化，比较与的大小，即可获得答案．
解：（1）∵，
∴
．
（2）原式
．
（3），
理由：，
，
，
，
．
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