9.1因式分解的概念课件2026新苏科版八年级数学下册

(共14张PPT)
第九章 因式分解
9.1 因式分解的概念
我们曾经学习过数的整除问题，7＋72能被8整除吗？99＋992能被100整除吗？
如何把7＋72，99＋992化成几个整数乘积的形式？
若a是正整数，a＋a2能被a＋1整除吗？
a＋a2＝a(a＋1)，因为a是正整数，所以a＋a2能被a＋1整除．
和
积
7＋72＝7×(1＋7)＝7×8，所以7＋72能被8整除．
99＋992＝99×(1＋99)＝99×100，所以99＋992能被100整除．
观察下列两组等式，说出它们的区别和联系．
m(a＋b)＝ma＋mb
(x＋1)(x+2)＝x2＋3x＋2
ma＋mb＝m(a＋b)
x2＋3x＋2＝(x＋1)(x+2)
第①组等式表示两个整式的乘法运算，第②组等式是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式，它们是互逆的变形．
①
②
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式
分解（factorization）．
因式分解也可称为分解因式．
因式分解的对象：
一个多项式（不能是单项式）
因式分解的结果：
几个整式（不能出现分式等）的积
因式分解的本质：
一种恒等变形（只改变形式）
多项式＝整式×整式×…×整式
因式分解与整式乘法是方向相反的变形
例 判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解．
(1) m(a＋2b)＝ma＋2mb； (2) 15xy＋25xy2＝5xy(3＋5y)；
(3) (y＋3)(y－3)＝y2－9； (4) a2＋4b2＋4ab＝(a＋2b)2．
解：(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解．
判断下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是．
(1) ab＋ac＋d＝a(b＋c)＋d；
(2) a2－1＝(a＋1)(a－1)；
(3) (a＋1)(a－1)＝a2－1；
(4) (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．
不是
不是
是
不是
观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式．
x
3
2
x
x
x
2
x
3
2
x2＋5x＋6＝(x＋3) (x＋2)
3
x
(x＋3) (x＋2)＝x2＋5x＋6
谈谈因式分解与整式乘法有什么联系？请举例说明．
课堂提升
因式分解与整式乘法的区别与联系：
因式分解 整式乘法
区别
联系
（1）由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式（和差化积）.
（2）一种恒等变形．
（1）由整式的积的形式转化成和差形式（多项式）（积化和差）.
（2）一种乘法运算．
互逆
.
写出两个整式A写B，使得A＝B(a＋3)．
答案不唯一．可以先确定右边的式子B，再利用整式乘法展开得到左边的式子A．
解：如B＝a，A＝a2＋3a．
1. 在下面式子的左边和右边的括号中各填入一个整式，使这
个式子的左边与右边相等．
（ ）＝（ ）（2a＋1）．
a
2a2＋a
2. 已知多项式a2＋6a＋k可以分解为 (a＋2) 与 (a＋4) 的乘积，
求k的值．
解：∵ a2＋6a＋k＝(a＋2) (a＋4)，
(a＋2) (a＋4)＝a2＋2a＋4a＋8＝a2＋6a＋8，
∴ a2＋6a＋k＝a2＋6a＋8．
k＝8．
四块矩形卡纸的面积之和为ab＋a＋b＋1，你能把这个多项式写成两个多项式乘积的形式吗？
a
b
a
1
1
1
1
b
a
b
a
1
1
1
1
b
ab＋a＋b＋1＝(a＋1) (b＋1)
课堂小结
因式分解的概念
定义
与整式乘法的关系
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解．
因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
感谢聆听！