9.3 公式法 第1课时 用平方差公式因式分解 课件(共19张PPT) 2026新苏科版八年级数学下册

(共19张PPT)
第九章 因式分解
9.3 公式法
第1课时 用平方差公式因式分解
因式分解与整式乘法有什么关系？
a(b＋c＋d)
ab＋ac＋ad
整式乘法
和
积
因式分解
是过程相反的变形．
我们学习了哪些乘法公式？
平方差公式：
完全平方公式：
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
如果把上述公式反过来，
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
是因式分解吗？
和
积
逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
公式中的字母既可表示
单项式也可以表示多项式．
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
1. 填空：
a2－16＝a2－( )2＝ (a＋____) (a－____)；
64－b2＝ ( )2－b2＝ (____＋b) (____－b)；
4m2－9n2＝( )2－( )2＝ (____＋____) (____－____)．
4
4
4
8
8
8
2m
3n
2m
3n
2m
3n
观察这些式子在结构上有哪些共同特征？
左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反．
右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式．
□2－△2
(□－△) (□＋△)
2. 判断下列多项式是否能用平方差公式分解因式．
(1) a2－16；
(2) －x2－1；
(3) 64－b；
(4) －25a2＋49b2．
两项符号相反
两项都能用完全平方表示
＝49b2－25a2
＝(7b)2－(5a)2
例1 把下列各式分解因式：
(1) 36－25x2 ； (2) 16a2－9b2 ；
解：(1) 36－25x2
＝62－(5x)2
＝(6＋5x)(6－5x)；
(2) 16a2－9b2
＝(4a)2－(3b)2
＝(4a＋3b)(4a－3b)；
方法总结
用平方差公式因式分解的一般步骤：
1. 变形：
化成(□)2－(△)2的形式；
2. 分解：
分解成(□－△) (□＋△)的形式.
(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ．
例1 把下列各式分解因式：
解：(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2
＝[3(a＋b)]2－[2(a－b)]2
＝[3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)]
＝(3a＋3b＋2a－2b)(3a＋3b－2a＋2b)
＝(5a＋b)(a＋5b)．
[ ]内看成一个整体．
方法总结
用平方差公式因式分解的一般步骤：
3. 化简：
分解后，结果要化为最简形式．
1．把下列各式分解因式：
(1) x2－25； (2) x2－16y2；
解：原式＝(x＋5)(x－5)；
原式＝(x＋4y)(x－4y)；
原式＝(a＋b)(a－b)；
(3) a2－b2； (4) x2y2－z2；
原式＝(xy＋z)(xy－z)；
原式＝(x＋5)(x－1)；
原式＝(x＋a＋y－b)(x＋a－y＋b)．
(5) (x＋2)2－9； (6) (x＋a)2－(y－b)2．
2．计算：
(1) 7582－2582； (2) 4292－1712．
解：(1) 7582－2582
＝[758＋258][758－258]
＝1 016×500
＝508 000；
(2) 4292－1712
＝[429＋171][429－171]
＝600×258
＝154 800．
例2 如图，有一个圆环形的观景台，已知R＝12.5m，r＝7.5m, 求观景台（阴影部分）的面积S（结果精确到1m2）．
解：S＝πR2－πr2＝π(R＋r)(R－r)
当R＝12.5 m，r＝7.5 m时，
S ＝ π(12.5＋7.5)×(12.5－7.5)
＝ π×20×5＝100π≈314 (m3)．
例3 已知k是正整数，求证: (k＋2)2－k2 是4的倍数．
证明：∵(k＋2)2－k2＝(k＋2＋k)(k＋2－k)＝2(2k＋2)＝4(k＋1)，
∵k是正整数，
∴4(k＋1)也是正整数，且是4的倍数，
∴(k＋2)2－k2是4的倍数．
变式 证明：两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍．
证明：设这两个奇数分别为x，x＋2，则这两个奇数的平方差为
(x＋2)2－x2，这两个奇数和为2x＋2．
∵ (x＋2)2－x2＝(x＋2＋x)(x＋2－x)＝2(2x＋2)，
∴ 两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍．
1. 如图，在Rt△ABC中，若斜边c＝25，直角边a＝24，求直角边b．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
a2＋b2＝c2，
∴ b2＝c2－a2
＝252－242
＝(25＋24)(25－24)
＝49，
∴ b＝7．
A
B
C
a
b
c
2. 已知a＞b＞0，求证：a2＞b2．
证法1：∵ a＞b＞0，
∴ a＋b＞0，a－b＞0，
∴ a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，
∴ a2＞b2．
证法2：∵ a＞b＞0，
∴ a2＞ab，ab＞b2，
根据不等式的传递性，可得
∴ a2＞b2.
1. 已知：4m＋n＝90，2m－3n＝10，求(m＋2n)2 － (3m－n)2的值．
解： (m＋2n)2 － (3m－n)2
　　 ＝[(m＋2n)＋(3m－n)][(m＋2n)－(3m－n)]
＝(4m＋n)(－2m＋3n)
∵ 4m＋n＝90，2m－3n＝10，
∴ 原式＝90×(－10)＝－900．
解：16x2－4
＝(4x)2－22
＝(4x＋2)(4x－2)
2. 判断下列做法是否正确，如有错误，请改正．
分解因式 16x2－4．
解：不正确．分解的结果中还有公因式没有提出．
原式＝(4x)2－22＝(4x＋2)(4x－2)＝2(2x＋1)·2(2x－1)＝4(2x＋1)(2x－1)．
要分解到每个因式不能再分解为止．
课堂小结
用平方差公式
因式分解
形式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
特征：左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反．
右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式．
一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简．
感谢聆听！