9.3 公式法 第2课时 用完全平方公式因式分解 课件(共15张PPT) 2026新苏科版八年级数学下册

(共15张PPT)
第九章 因式分解
9.3 公式法
第2课时 用完全平方公式因式分解
填空：
(1) a2＋6a＋9＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2；
(2) a2－6a＋9＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2；
(3) a2＋( )＋4b2＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2；
(4) a2－8a＋( )＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2．
3
a
3
a＋3
3
a
3
a－3
2b
a
2b
a＋2b
4ab
4
a
4
a－4
16
观察这些式子在结构上有哪些共同特征？
完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
左边：有三项，两项都能用完全平方表示且符号相同，第三项是两个平方项底数的积的2倍或－2倍．
右边：这两个平方项底数的和（或差）的平方．
公式中的字母既可表示
单项式也可以表示多项式．
例4 把下列各式分解因式：
(1) x2＋10x＋25； (2) 4a2－36ab＋81b2．
解： (1) x2＋10x＋25
＝x2＋2·x·5＋52
＝(x＋5)2；
(2) 4a2－36ab＋81b2
＝(2a)2－2·2a·9b＋(9b)2
＝(2a－9b)2．
方法总结
用完全平方公式因式分解的一般步骤：
1. 变形：
化成(□)2±2□△＋(△)2的形式；
2. 分解：
分解成(□±△) 2的形式.
(1) 25a4＋10a2＋1； (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4．
例5 把下列各式分解因式：
解：(1) 原式＝(5a2)2＋2·5a2·1＋12
＝(5a2＋1)2；
方法总结
(2) 原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·2＋22
＝[(m＋n)－2]2
＝(m＋n－2)2．
用平方差公式因式分解的一般步骤：
3. 化简：
分解后，结果要化为最简形式．
注意：整体思想的应用．
1. 下列多项式能否分解因式？如果能，尝试把它们分解因式：
(1) a2＋8a＋16；
(2) 9a2－3a＋1；
(3) a2－1；
(4) a2－ab＋b2．
原式＝a2＋2·a·4＋42
＝(a＋4)2
第三项应是两个平方项底数的积的－2倍
(3a)2－6a＋12
能
不能
能
能
原式＝a2－2·a·＋
＝(a－)2
原式＝(a＋1)(a－1)
2．把下列各式分解因式：
(1) 25x2＋10xy＋y2； (2) a2－12ab＋36b2；
(3) 16a4＋24a2b2＋9b4； (4) (x＋y)2－10(x＋y)＋25．
解：(1) 原式＝(5x＋y)2；
(2) 原式＝(a－6b)2；
(3) 原式＝(4a2＋3b2)2；
(4) 原式＝(x＋y－5)2．
3. 已知a≠b，比较a2＋b2与2ab的大小，并说明理由．
解：∵ a≠b，
∴ a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0，
∴ a2＋b2 2ab．
有两张边长分别为a，b的正方形纸片，两张长、宽分别为a，b的矩形纸片．你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗？
b
b
a
b
ab
a
a
a
b
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a
b
ab
例1 用简便方法计算：
(1) 101 ＋202×99＋99 ；
解：(1)原式＝101 ＋2×101×99＋99
＝(101＋99)2
＝2002
＝40000．
变式 用简便方法计算：
992＋199．
解：原式＝992＋198＋1
＝992＋2×99＋12
＝(99＋1)2
＝1002
＝10000．
解：(2) 原式＝2026 －2×2026×2025＋2025
＝(2026－2025)2
＝12
＝1．
例1 用简便方法计算：
(2) 20262－4052×2025＋20252．
例2 证明：无论x取何值，代数式x2＋2x＋5的值不小于4．
证明：x2＋2x＋5＝(x2＋2x＋1)＋4＝(x＋1)2＋4.
∵ (x＋1)2≥0，
∴ (x＋1)2＋4≥4．
∴无论x取何值，代数式x2＋2x＋5的值不小于4．
例3 运用分解因式a2－6ab＋9b2的结果，对(x＋3y)2－6(x＋3y)(x－y)＋
9(x－y) 进行因式分解．
解： (x＋3y)2－6(x＋3y)(x－y)＋9(x－y)
＝(x＋3y)2－2·(x＋3y)·3(x－y)＋[3(x－y)]
＝[(x＋3y)－3(x－y)]2
＝(x＋3y－3x＋3y)2
＝(－2x＋6y)2
＝4(x－3y)2．
进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止．
课堂小结
用完全平方公式因式分解
形式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
特征：左边：有三项，两项都能用完全平方表示且符号相同，第三项是两个平方项底数的积的2倍或－2倍．
右边：这两个平方项底数的和（或差）的平方．
一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简．
感谢聆听！