7.2《平行线》---平行线的判定和性质（含答案）初中数学人教版（2024）七年级下册

7.2《平行线》---平行线的判定和性质
一、单选题
1．如图，在 ABC中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．在同一平面内，将直尺和一副直角三角尺按如图方式摆放，若含角的直角三角尺的顶点D放在含角的直角三角尺的斜边上，且，则的大小为（　　　）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，连接，平分，点E为延长线上一点，连接，的平分线交的延长线于点G，交于点F，且．则与之间的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
4．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上．若，则的度数为 ．
5．将三角板如图所示放置，，，，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，且时，则与之间的数量关系为 ．
6．一副直角三角尺如图1所示叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点按箭头方向转动至图2位置（点在的延长线上）的过程中，当与三角形的边所在直线平行时，的度数为 ．
三、解答题
7．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若于点H，，求的度数．
8.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，．
(1)求证：；
(2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数．
9.如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，，．
(1)若，求的度数；
(2)试猜想与的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由．
10.如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D．
(1)求的度数．
(2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律．
(3)当点P运动到使的位置时，求的度数．
11.如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持．
(1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）；
(2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系．
12．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．
(1)【问题初探】
如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________；
(2)【实践探究】
如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________；
为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示．
13.小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示）
14.如图1、图2，直线，被射线所截，且，P是射线上的定点，点Q在射线上，连接，过点Q作，与直线交于点E，且．
(1)如图1，当点Q与点N重合时，求的度数；
(2)若点Q在线段上（点Q不与点M，N重合）．
①依题意，在图2中补全图形；
②猜想与之间的数量关系，并证明；
(3)当点Q在线段的延长线上，且时，求的度数．
15.实践与探究：
材料：一副直角三角尺，记作： ABC和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度；
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值．
16.综合与探究
问题情境：
在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点旋转．
操作探究：
（1）图1中，若，判断线段与的位置关系，并说明理由；
（2）当三角板绕点旋转到图2的位置，，求的度数；
深入思考：
（3）在三角板绕点旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数．
17.如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足．
(1) ， ；
(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？
(3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
2．B
解：，
，
，
故选：B．
3．C
解：∵，
∴，，
∵平分，的平分线交的延长线于点G，
∴，，
由条件可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即.
故选：C．
二、填空题
4．
解：∵由题意可知：，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴，
故答案为：．
5．
解：，
，
，，
，
，
，
，且，
平分，
，
，
故答案为：．
6．或
解：①时，如图所示：
；
②当时，如图所示：
有，
，
，
，
故答案为：或．
三、解答题
7．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
8.（1）证明：，
，
；
（2）解：∵扶手与底座都平行于地面，
，
，
，
∴，
∵平分，
，
，
．
9.（1）解：∵，，
∴∠BCE=∠BCD -∠ECD=150 -90 =60 ，
∵，
∴∠ACE=∠ACB -∠BCE=90 -60 =30 ；
（2）解：，理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90 +∠ACD
∠ACE=∠DCE -∠ACD=90 -∠ACD
即；
（3）解：当为或时，，
由“同旁内角互补，两直线平行”，如图，
即，
∵，
∴；
由“内错角相等，两直线平行”，如图，
即，
∵，
∴；
∴当为或时，．
10.（1）解：，
，
，
．
平分，平分，
，
，
．
（2）不变，．
证明：，
，
平分，
，
．
（3）解：，
，
当时，，
，
．
由（1）可知，，
．
11.（1）解：∵点P位于点Q的左侧，
∴点P与点Q不共点，
∴和没有公共顶点，
∴和不可能为对顶角，
故答案为：否；
（2）解：补全图形，如图，
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：分以下四种情况：
当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图，
∵，
∴，
∴，
整理得；
综上，α与β之间的数量关系为或或．
12．（1）解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，证明如下，
证明：如图所示，过点作，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点作，过点作，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
13.（1）证明：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：，理由如下：
∵，，
∴，，，
∴，，
∴．
（3）证明：如图，过E作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14.（1）解：，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：①依题意补全图形如图2所示：
②与之间的数量关系是：．
证明如下：过点作，如图3所示：
，
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：
①当在点的右侧时，过点作，如图4所示：
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示：
，
，
，
，
同理：，，
，
．
综上所述：的度数为或．
15.（1）解：如图①，过点作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：105；
（2）解：如图②，过点作，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：①当且在上方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
②当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，
由①得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80．
16.解：（1）；理由如下：
∵，，，
∴，
∴；
（2）过点A作，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当在上方时，如图所示：
∵，，
∴；
当在下方时，如图所示：
∵，，
∴；
综上分析可知：或．
17.（1）解：，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，
如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，
，
，
，
，
又，，
，
解得，
故至少旋转秒时，射线、射线互相垂直；
（3）设射线转动秒时，射线、射线互相平行，
如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，，
①当到达前，，，
，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得；
②当到达后，，，，
，
，
当时，，
此时，，
解得；
综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行．