第8章《实数》-- 平方根与立方根（含答案）初中数学人教版（2024）七年级下册

第8章《实数》-- 平方根与立方根
题型一、求一个数的算术平方根、平方根、立方根
1．196的平方根是 ；169的算术平方根是 ；的立方根是 ．
2．9的算术平方根是 ，25的平方根是 ，的立方根是 ．
3．16的算术平方根是 ，4的立方根是 ，的平方根是 ．
4．的平方根是 ；的算术平方根是 ； ．
题型二、已知一个数的平方根或立方根，求这个数
5．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ．
6．是的立方根，的立方根是，则 ．
7．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ．
8．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是
题型三、利用算术平方根的非负性解题
9．若，则的值为 ．
10．若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
11．已知，则的值是 ．
12．若实数x，y，z满足，则的平方根为 ．
题型四、利用平方根与立方根的定义解方程
13．解方程：
(1)； (2)．
14．求x的值：
(1) (2)
15．解方程：
(1) (2)
16．求下列各式中的值．
(1) (2) (3) (4)
题型五、算术平方根及立方根的实际应用
17．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为．
(1)“混天绫”的总长度是多少米？
(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．
18．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为．
(1)求长方体水池的长、宽、高．
(2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）．
19．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为
(1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______；
(2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段．
(3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______．
20．请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长；
(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下：
解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______．
请补全以上填空并继续完成小红的解答．
题型六、平方根与立方根的综合问题
21．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同．
(1)求a，x，的值；
(2)求的算术平方根．
22．已知的算术平方根是5，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
23．已知是9的平方根，的算术平方根是4．
(1)求a与b的值；
(2)当时，求的立方根．
24．已知一个正数a的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3．
(1)求a和b的值．
(2)求的算术平方根．
题型七、与算术平方根有关的规律探索题
25．（1）观察发现：
（） … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
表格中________，________；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位；
（3）规律运用：
①已知，则________；
②已知，，则________．
26．[核心素养]【实践与探究】
（1）计算： ， ， ， ， ；
【归纳与应用】
（2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来；
（3）利用你得到的规律，计算：
①若，则 ；
② ．
27．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
①，②，③，…
(1)观察算式规律，计算，的值．
(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律．
(3)根据规律，求的值．
28．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
题型八、与立方根有关的规律探索题
29．观察下表，并用所得的规律解决问题：
(1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位；
(2)应用：①已知，则___________；
②已知，则___________；
(3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值．
30．观察如表，并解答下列问题．
a 1 1000 1000000
______ ______ 100
【规律总结】
（1）①请补全如表；
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位；
【规律应用】
（2）已知，，．
①______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数）
a 1 1000 1000000
1 10 100
31．阅读与思考
小明研究大数的立方根后写下如下报告．
以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题．
(1)___________．
(2)若，则___________．
(3)已知，求的值．
32．（1）【发现】
；
；
；
；
…
根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ；
（2）【归纳】
等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式）
（3）【应用】
根据（）中所归纳的结论，解决下列问题：
若，求；
若，且，求的值．
参考答案
题型一、求一个数的算术平方根、平方根、立方根
1． ±14 13
解：196的平方根是，169的算术平方根是13，的立方根是，
故答案为：；13；．
2． 3
解：∵，
∴9的算术平方根是3；
∵，
∴25的平方根是±5；
∵
∴的立方根是，
故答案为：3；；
3． 4
解：16的算术平方根是4，；4的立方根是；的平方根是；
故答案为：4，，
4．
解：∵，
∴的平方根是；
∵，，
∴的算术平方根是；
∵，
∴，
故答案为：；；．
题型二、已知一个数的平方根或立方根，求这个数
5．1
解：∵和是一个正数的两个不同的平方根，
∴，
解得：，
则，，
∴ 这个正数是：．
故答案为：1．
6．512
解：是的立方根，
，
解得，
的立方根是，
，
即，
解得，
则，
故答案为512．
7．121
解：由题意，得 ，
解得，
则一个平方根为，
因此这个正数为．
故答案为：121．
8．3
解：∵a-3和是一个正数的两个平方根，
，
解得，
又的立方根是3，
，
解得，
，
的算术平方根，
故答案为：
题型三、利用算术平方根的非负性解题
9．2026
解：∵且，且，
∴且．
解得，．
∴．
故答案为：2026．
10．
解：∵，，，
∴且，
由，得，解得：，
则可化为，即，解得：，
∴．
故答案为：．
11．
解：∵，且
∴
解得，
∴，
故答案为：．
12．±2
解：，
，，，
解得，，．
则，
， 的平方根为，
的平方根为．
故答案为：．
题型四、利用平方根与立方根的定义解方程
13．（1）解：
解得；
（2）解：
解得或．
14．（1）解：，
，
或，
解得或；
（2）解：，
，
，
解得．
15．（1）解：
或；
（2）解：
．
16．（1）解：，
，
（2）解：，
，
（3）解：，
，
，
（4）解：，
，
．
题型五、算术平方根及立方根的实际应用
17．（1）解：因为，
所以正方形的边长为．
所以正方形的周长为．
答：混天绫的总长度是．
（2）设宽为，则长为．
可得：，
解得：（因为长度为正，舍去负根），
长为：，
，
．
答：混天绫长度足够完成新阵法．
18．（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为，
∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，，
，
，
，
解得，
，，
故长方体水池的长、宽、高分别为，，．
（2）解：已知该小球的半径为，
则，
，
．
故该小球的半径约为．
19．（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半
∴边长为
故答案为：2，；
（2）如图，线段即为所求；
∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：，
故阴影部分的面积为：，
故阴影正方形的边长为：，
故为所求；
（3）阴影部分的面积，
新正方形的边长
故答案为：
20．（1）解：由题可知：，
∴棱长为，
故大正方体木块的棱长为；
（2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，
则截得的这8个小正方体木块的总体积为，
由题意得：，
解得：，
故截得的每个小正方体木块的棱长为，
故答案为：，．
题型六、平方根与立方根的综合问题
21．（1）解：依题意，得：，
解得：，
，，
，
即a，x的值分别为，25，
负数y的立方根与它本身相同，
∴y=-1．
（2）解：当，时，，
的算术平方根为．
22．（1）解：由题意可得，，，
即，，
解得，，
故，的值为，．
（2）将，的值代入，得
，
，
的平方根为．
23．（1）解：是9的平方根，
或，
解得或，
的算术平方根是4．
，
则当时，有，解得；
当时，有，解得；
（2）解：，
，，
，
的立方根为．
24．（1）解：∵一个正数a的两个不同平方根分别是和，
∴，
，
，
则其中一个平方根为，
∴
又∵的立方根是，
∴，
，
，
；
（2）解：将，代入，得
，
的算术平方根为，
故答案为：
题型七、与算术平方根有关的规律探索题
25．解：（1）由表格可知，，．
（2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
（3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即．
②由及（2）中的规律可知，
则
∴
即．
26．解：（1）计算：，，，，．
（2）观察（1）中的等式，可以发现，．
（3）①．
，
，
．
②．
，
．
27．（1）解：，
；
（2）解：由题意得，
，
，
，
……
以此类推：；
（3）解：原式
．
28．（1）解：∵第一个等式；
第二个等式；
第三个等式；
∴根据规律可猜测第五个等式为；
（2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
（3）解：依题意，根据规律可化简：
原式
．
题型八、与立方根有关的规律探索题
29．（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位，
故答案为：三；一；
（2）解：根据总结的规律可得：，
，
故答案为：①；②；
（3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位，
，，
．
30．解：（1）①，，
补全表格如下：
a 1 1000 1000000
1 10 100
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位，
故答案为：1；
（2）①，
故答案为：；
②正方体的体积为3000立方米，
正方体的棱长为：米
需要铁皮的面积为平方米
31．（1）解：因为，所以是两位数；
其次观察立方数．猜想个位数字是8；
接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到，
故答案为：．
（2）解：，
与互为相反数，
与5互为相反数，
，
，
故答案为：；
（3）解：，
，
或，
解得或1或3．
32．解：（）；
；
；
；
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（）解：由；
；
；
；
...，
∵，
∴，
故答案为：；
（）由若，根据（）规律得，，
解得：，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．