第8章《实数》章节测试卷（含答案）初中数学人教版（2024）七年级下册

第8章《实数》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列说法：
①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则的立方根为（ ）
A．5 B．15 C．25 D．
7．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　）
A．3 B．9 C．27 D．81
9．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（ ）
A． B．3 C．2 D．
10．图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．4的算术平方根是 ．
12．比较大小： ．
13．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ．
14．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ．
15．现对实数，定义一种运算：．则的值为 ．
16．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则
①表示的数是 ；
②与表示的两数的平方和为 ．
解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）计算：； （2）求等式中的值：．
18．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）．
(1)整数集合： ；
(2)分数集合： ；
(3)无理数集合： ．
19．已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
20．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，， ，其结果 6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．
(1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数）
(2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值．
21．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为．
(1)求长方体水池的长、宽、高．
(2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）．
22．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
【解决问题】
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值；
(3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）．
23．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当时，_______；当时，_______．
(2)当输入的值小于100，且输出的值是时，输入的值可以是_______．
(3)是否存在输入某个值后，却始终输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由．
24．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数．
(1)实数的值是 ；
(2)求的值；
(3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根．
25．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……
规律发现：
(1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：
①______；
②______．
(2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______．
(3)根据上述规律计算：
参考答案
一、选择题
1．A
解：的相反数是
故选：A．
2．D
选项A： 表示算术平方根，值为2，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：，不符合题意；
选项D：，则，符合题意；
故选D．
3．C
解：，
在数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数有，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），共3个，
故选：C．
4．B
解：① ∵ ，
∴ ，
故此说法错误；
② ∵ ，且，
∴ ，
故此说法错误；
③ ∵ ，
∴ 4是16的一个平方根，
故此说法正确；
④ ∵ ，且是5的算术平方根，
∴此说法正确；
⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根，
∴此说法错误；
综上，正确个数为2个．
故选：B．
5．D
解：∵，
∴，
∴．
观察数轴可知，点表示的数在和之间，故选：D．
6．D
解：∵，，且，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根为：．
故选：D．
7．D
解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：，，且，
因此，，，
所以，．，
故选D
8．B
解：两次取算术平方根，即，
两边平方得，
再平方得，
故选B．
9．C
解：∵
∴
∵，，
∴
故
故选：C
10．B
解：设正方形的边长为，
根据图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，
则图1中大正方形的边长为，小正方形的边长为，
此时，
根据图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，
则图2中大正方形的边长为，小正方形的边长为1，
此时，
取交集得：，
由于，则，
选项A、，则，不符合题意；
选项B、，则，符合题意；
选项C、，则取不到，不符合题意；
选项D、，不符合题意；
故选：B．
二、填空题
11．2
解：由于，
则4的算术平方根是2，
故答案为：2．
12．
解：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．121
解：由题意，得 ，
解得，
则一个平方根为，
因此这个正数为．
故答案为：121．
14．
解：∵正方形的面积为2，
∴，
∴
又∵点在点的右边，
∴点所表示的数为，
故答案为：．
15．
解：，，
则．
故答案为：．
16．
①解：第1排：
第2排：，（从左到右依次增大）
第3排：，，（从左到右依次减小）
第4排：，，，（从左到右依次增大）
第5排：，，，，（从左到右依次减小）
奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列．
偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列．
数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的．
前m排数字的总个数：，
前一排（第排）的总个数是，
所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根．
当 m为奇数时，
第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，，
即最左是，最右是，
因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：，
当m为偶数时，
第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，，
即最左是，最右是，
因此偶数排的第 n个数是：，
，为偶数，
，
所代表的数为，
故答案为：；
②，为偶数，，
，
，为奇数，，
，
它们的平方和为，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：原式；
（2）解：原等式变形为，
∵，
∴．
∴或．
18．（1）解：②是整数，③是整数，⑤是整数，
整数集合：②③⑤，
故答案为：②③⑤；
（2）解：①是分数，⑥是分数，⑦是分数，
分数集合：①⑥⑦，
故答案为：①⑥⑦；
（3）解：④是无理数，⑧（相邻的两个之间依次多个）是无理数，
无理数集合：④⑧，
故答案为：④⑧．
19．（1）解：∵的立方根是，则，
∴；
∵的算术平方根是2，则，即，
∴；
∵c的算术平方根等于本身，
∴或0，
∴，，或0；
（2）解：当，，时，则，
∵的平方根是，
∴的平方根为；
当，，时，则，
∵的平方根是，
∴的平方根为；
综上，当时，平方根为；当时，平方根为．
20．（1）解：∵，，
，
∴是一组“完美组合数”；
（2）解：∵三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，
∴这三个数中有两个数的乘积为，
∵这三个数互不相等，且，
∴，
∴．
21．（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为，
∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，，
，
，
，
解得，
，，
故长方体水池的长、宽、高分别为，，．
（2）解：已知该小球的半径为，
则，
，
．
故该小球的半径约为．
22．（1）解：，而，
，
的整数部分是4，小数部分为，
故答案为：4，；
（2）解：，而，
，
的整数部分，小数部分为，
；
（3）解：，
，
又，其中x是整数，且，
，
，
故答案为：.
23．（1）解：根据题意，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则；
当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则；
故答案为：，；
（2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下：
当输出y的值是时，则；；；
∴输入x的值可以是3，9，81，
故答案为：3或9或81．
（3）解：存在，
当时，，循环取算术平方根始终是0，不能输出无理数；
当时，，循环取算术平方根始终是1，不能输出无理数；
所以，满足要求的x的值是0和1．
24．（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴
；
（3）解：∵，且，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴的算术平方根为．
25．（1）解：①由题意得：；
②；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
第个等式：；
（3）解：
．