雅礼教育集团 2025年下学期期末考试试卷
高一数学
时量：120分钟 分值 150分
命题人： 审题人：
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2. 已知非零向量 ， 满足 ，则（ ）
A. B.
C. 与 的方向相同 D. 与 的方向相反
【答案】C
3. 已知 （ ），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
第 1页/共 16页
4. 已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ）
A. 定义域为 B. 是偶函数
C. 是减函数 D. 是奇函数
【答案】B
5. 将函数 的图象向右平移 个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则 的
值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
第 2页/共 16页
6. 某品牌牛奶的保质期 （单位：天）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 .
该品牌牛奶在 的保质期为 270天，在 的保质期为 180天，则该品牌牛奶在 的保质期是（ ）
A. 60天 B. 70天 C. 80天 D. 90天
【答案】C
7. 已知平面向量 ，设 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 已知 对 恒成立，则 的最小值为（ ）
A 4 B. 6 C. D.
【答案】B
第 4页/共 16页
二、多项选择题：（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的的 0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A.“ ， ”是“ ”成立的充分不必要条件
B. 命题 ： ， ，则 ： ，
C. 命题“若 ，则 ”是真命题
D.“ ”是“ ”成立的必要不充分条件
【答案】AC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 为第一象限角
B. 将表的分针拨快 5分钟，则分针转过的角度是
C. 终边经过点 的角的集合是
D. 在一个半径为 的圆上画一个圆心角为 的扇形，则该扇形面积为
【答案】BC
11. 已知函数 ，且 在区间 上单调递减，则下列结论正确的有（
）
A. 若 ，则
B. 若 恒成立，则满足条件的 有且仅有 1个
C. 若 ，则 的取值范围是
第 6页/共 16页
D. 若 ，则 的取值范围是
【答案】ABD
三、填空题：（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12. 函数 的最大值为__________.
【答案】
13. 已知 ，则 ______.
【答案】
14. 函数 ，若函数 恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围为__________.
【答案】 或
四、解答题：（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）当 为何值时， 与 垂直？
【答案】（1）
（2）
【小问 1 】
因为 ， ，
所以 ，则 ．
【小问 2 】
若 与 垂直，则 ，
从而 ，又因为 ， ，
所以 ，解得 ．
16. 已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值．
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【答案】（1）
（2）
【小问 1 】
法一：由角 终边上一点 ，得 ，
故
法二：由角 终边上一点 ，得 ，
故 ；
【小问 2 】
由角 终边上一点 ，得 ，
因为 ， ，
所以 ，
则
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17. 如图，是函数 （ ， ， ）图象的一部分．
（1）求函数 的解析式；
（2）函数 在区间 上有且仅有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【小问 1 】
由图可得 ，
函数 的最小正周期为 ，
则 ，
所以 ，因为 ，
第 12页/共 16页
则 ，因为 ，
所以 ，解得 ，所以 ．
【小问 2 】
令 ， ，则 ，
因为函数 在区间 上有且仅有两个零点，
所以方程 在 有且仅有两个实根，
令 ，得 或 ， ，
所以方程 的正根从小到大排列分别是 ， ， ，…，
所以 ，解得 ．
18. 已知函数 为偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）解不等式 .
【答案】（1）
（2）
【小问 1 】
函数 为偶函数，
，即 ，
第 13页/共 16页
，
.
【小问 2 】
由（1）知， ，
，
不等式 ，等价于 ，
即 ，
由 ，解得 ，
由 ，得 ，
得 ，即 ，
综上，不等式 的解集为 .
19. 已知函数 的定义域为 ，若 ，使得 对 都成立，则
称 为 型函数．
（1）证明：每一个指数函数 （ 且 ）都是 型函数；
（2）若函数 是 型函数，求实数 的值；
（3）已知函数 在定义域 上的函数值恒大于 0，且 为 型函数，当 时，
．若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
第 14页/共 16页
【小问 1 】
证明：因为 ，
所以 （ 且 ）是 型函数，
即每一个指数函数都 型函数．
【小问 2 】
因为函数 是 型函数，
所以 ，
显然 ，则 ，所以 ，
整理得 对于定义域 内任意 恒成立，
所以 ，解得 ．
【小问 3 】
因为 为 型函数，所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，满足 ；
当 时， 恒成立，
令 ，则 ，所以 在 上恒成立，则 恒成立，
因为 在 上单调递增，且 ，故 ．
当 时， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
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令 ，则当 时， 恒成立．
由上可知 ，所以 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，
因为 ，当且仅当 时取得等号，所以 ．
综上可知， ，故实数 的取值范围为 ．
第 16页/共 16页雅礼教育集团 2025 年下学期期末考试试卷
高一数学
时量：120 分钟 分值 150 分
命题人： 审题人：
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知非零向量 ， 满足 ，则（ ）
A. B.
C. 与 的方向相同 D. 与 的方向相反
3. 已知 （ ），则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ）
A. 定义域为 B. 是偶函数
C. 是减函数 D. 是奇函数
5. 将函数 的图象向右平移 个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则 的
值可以为（ ）
A. B. C. D.
6. 某品牌牛奶的保质期 （单位：天）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 .
该品牌牛奶在 的保质期为 270 天，在 的保质期为 180 天，则该品牌牛奶在 的保质期是（ ）
A. 60 天 B. 70 天 C. 80 天 D. 90 天
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7. 已知平面向量 ，设 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 对 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的的 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “ ， ”是“ ”成立的充分不必要条件
B. 命题 ： ， ，则 ： ，
C. 命题“若 ，则 ”是真命题
D. “ ”是“ ”成立的必要不充分条件
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 为第一象限角
B. 将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是
C. 终边经过点 的角的集合是
D. 在一个半径为 圆上画一个圆心角为 的扇形，则该扇形面积为
11. 已知函数 ，且 在区间 上单调递减，则下列结论正确的有（
）
A. 若 ，则
B. 若 恒成立，则满足条件的 有且仅有 1 个
C. 若 ，则 的取值范围是
D. 若 ，则 的取值范围是
第 2页/共 4页
三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 函数 的最大值为__________.
13. 已知 ，则 ______.
14. 函数 ，若函数 恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围为__________.
四、解答题：（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15 已知 ， ， ．
（1）求 值；
（2）当 为何值时， 与 垂直？
16. 已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值．
17. 如图，是函数 （ ， ， ）图象 一部分．
（1）求函数 的解析式；
（2）函数 在区间 上有且仅有两个零点，求实数 的取值范围．
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18. 已知函数 为偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）解不等式
19. 已知函数 的定义域为 ，若 ，使得 对 都成立，则
称 为 型函数．
（1）证明：每一个指数函数 （ 且 ）都是 型函数；
（2）若函数 是 型函数，求实数 的值；
（3）已知函数 在定义域 上的函数值恒大于 0，且 为 型函数，当 时，
．若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
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