湖南省长沙市长郡中学 2025-2026学年高一上学期 1月期末数学试题
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1. 设集合 为奇数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3. 若 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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4. 若一个扇形的圆心角为 ，半径为 7，则其弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5. 已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 下列 是 的必要不充分条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
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7. 美国生物学家雷蒙德 皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的
“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间 （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物
的高为 1米，经过 1年，该植物的高为 3米，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 已知 ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为 B. 函数 的零点为
C. D.
【答案】BD
10. 若函数 的图象为曲线 ，则（ ）
A. 曲线 关于点 对称
B. 将曲线 沿着 轴向右平移 个单位长度得到曲线
C. 将曲线 沿着 轴向下平移 2个单位长度得到曲线
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D. 将曲线 上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线
【答案】ABC
11. 若函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则（ ）
A.
B. 当 时，
C. 当 时， 单调递增区间为 和
D. 当 时， 的单调递增区间为 和
【答案】ABD
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边过点 ，则
___________．
【答案】
13. 函数 （ ，且 ）的图象必经过的定点是__________.
【答案】
14. 在研究集合时，我们把含有限个元素的集合 叫做有限集，用 表示有限集合 中元素的个数．设
集合 ，若
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，则实数 的取值集合用列举法表示为___________．
【答案】
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设实数 x，y 满足 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）当 x，y 均为正实数时，求 的最小值，并求取得最小值时 的值．
【答案】（1）
（2）最小值为 ，此时
【小问 1 】
因为 ，所以 ，
又 ，即 ，化简得 ，
所以 ，
故 的取值范围为 ．
【小问 2 】
因为 ，
所以
，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
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故 的最小值为 ，此时 ．
16. （1）已知实数 a，b 满足： ，求 值；
（2）已知 ，求 值．
【答案】（1） ；（2）20
（1）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
17. 已知函数 为奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）求证： 在 上单调递增；
（3）若 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【小问 1 】
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，解得 ，
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此时 ，则 ，满足题意，
故实数 的值为 ．
【小问 2 】
由（1）可得 ，
任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，且指数函数 在定义域 上单调递增，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
因此 ，即 ，
故根据函数单调性的定义得，函数 在 上单调递增．
【小问 3 】
由（2）可得，要使得 在区间 上有解，
只需 ，
而当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 ．
18. 已知函数 ．
（1）把 化为 的形式；
（2）求 的单调递减区间和图象的对称轴方程；
（3）令 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
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（2） ； ；
（3） .
【小问 1 】
由题意得
.
【小问 2 】
令 ，
解得 ，
则 的单调递减区间为 .
令 ，所以 ，
故 图象的对称轴方程为 .
【小问 3 】
因为 ，所以 ，
则 ，可得 ，
故 是关于 的开口向上的二次函数，
其中 ，对称轴为 ，
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故由二次函数的性质得 .
若 ， ，
因此有 ，化简得 ，
由指数函数性质得 ，故 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
19. 对于函数 ，若其定义域内 满足 ，则称 为“弱奇函数”， 为函数
的“弱奇函数点”．
（1）设 ，证明： 为“弱奇函数”；
（2）设 ，若 为定义在区间 上的“弱奇函数”，且在 上
存在两个“弱奇函数点” ．
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）证明见解析
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【小问 1 】
若 ，则 ，
所以 ，所以 ，
取 ，则 ，所以 为“弱奇函数”．
【小问 2 】
（i）由 为定义在区间 上的“弱奇函数”得，
存在 ，使得 ，
则 ，
即
化简得， 为方程 的根，
当 时，方程 化简为 ，
当 时，方程 化简 ，
根据韦达定理可判断 在 上不可能存在两个不等实根，
故 在 和 上各存在一个“弱奇函数点”，
①当 时， ，即 ，
因此当且仅当 时，方程 在 上存在唯一根 ；
②令 ，
当 时， 必存在唯一根 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以当且仅当 时，方程 在 上有唯一根 ，
第 13页/共 14页
综合①②得，实数 的取值范围为 ．
（ii）由（i）得， ，
由 及 得， ，
因为 ，
所以 ，
令函数 ，
因为函数 在 上都单调递减，
所以函数 在 上单调递减，则 ，即 ，
所以 ．湖南省长沙市长郡中学 2025-2026 学年高一上学期 1 月期末数学试题
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1. 设集合 为奇数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 若 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
4. 若一个扇形的圆心角为 ，半径为 7，则其弧长为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 下列 是 的必要不充分条件的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 美国生物学家雷蒙德 皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的
“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间 （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物
的高为 1 米，经过 1 年，该植物的高为 3 米，则（ ）
A. B. C. D.
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8. 已知 ，若 ，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为 B. 函数 的零点为
C. D.
10. 若函数 的图象为曲线 ，则（ ）
A. 曲线 关于点 对称
B. 将曲线 沿着 轴向右平移 个单位长度得到曲线
C. 将曲线 沿着 轴向下平移 2 个单位长度得到曲线
D. 将曲线 上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线
11. 若函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则（ ）
A
B 当 时，
C. 当 时， 的单调递增区间为 和
D. 当 时， 的单调递增区间为 和
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边过点 ，则
___________．
13. 函数 （ ，且 ）的图象必经过的定点是__________.
第 2页/共 4页
14. 在研究集合时，我们把含有限个元素的集合 叫做有限集，用 表示有限集合 中元素的个数．设
集合 ，若
，则实数 的取值集合用列举法表示为___________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设实数 x，y 满足 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）当 x，y 均为正实数时，求 最小值，并求取得最小值时 的值．
16. （1）已知实数 a，b 满足： ，求 的值；
（2）已知 ，求 值．
17. 已知函数 为奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）求证： 在 上单调递增；
（3）若 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
18. 已知函数 ．
（1）把 化为 的形式；
（2）求 的单调递减区间和图象的对称轴方程；
（3）令 ，求实数 的取值范围．
19. 对于函数 ，若其定义域内 满足 ，则称 为“弱奇函数”， 为函数
的“弱奇函数点”．
（1）设 ，证明： 为“弱奇函数”；
（2）设 ，若 为定义在区间 上的“弱奇函数”，且在 上
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存在两个“弱奇函数点” ．
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： ．
