江西宜春市丰城厚一学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西宜春市丰城厚一学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 102.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2025~2026学年度高二年级上学期期末考试
数 学 试 题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把
答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔
在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、
草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8
张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（ ）
A．14 B．17 C．90 D．144
2．抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B．
C．3 D．6
3．若圆与圆外切，则为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．1或5
4．已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据
如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
5 6 9 12
8 7 2.4
A．
B．当时，
C．变量和呈负相关
D．该经验回归直线必过点
5．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排
成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
6．在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，为椭圆的左、右焦点，以为边作正三角形，若正三角形的另两条边的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的，男性占近期购车车主总数的，女性购车车主有购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．
9．的展开式中的有理项有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．从名男生，名女生中选取人，则其中至少有一名女生的概率为
B．若随机变量，则方差
C．若随机变量，，则
D．已知随机变量的分布列为，则
11．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，是上的动点，且，若直线与的右支交于，两点，的中点为，则下列说
法正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 若，的斜率分别为，，则
C. 若为坐标原点，且，的斜率分别为，，则
D. 若经过，则，的内心与三点共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点且与直线垂直的直线的方程为______．
13. 在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且，是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为______．
14. 对于两个事件，，若，，则称为事件，的相关系数．在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：玄武湖、梅花山、牛首山和银杏湖，每人只能去一个景点，若事件：梅花山景点至少有一人；事件：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人，则事件，的相关系数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
16. 今夏，业余足球比赛江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）刷屏，不仅点燃了全民足球热情，还成为人们争相热议的社会现象和文化符号．已知足球教练对球员的选拔使用是依据平常训练及参加比赛的大数据分析．为了考查球员甲对球队的贡献，作如下数据统计（假设球员甲参加过的比赛都决出了胜负）．
甲参加 甲未参加 总计
球队胜 29 11 40
球队负 3 7 10
总计 32 18 50
（1）试问：依据小概率值的独立性检验，能否认为球队胜负与球员甲参赛有关联？
（2）根据以往的数据统计，球员乙能够胜任边锋，中锋，后腰及中后卫四个位置，且出场概率分别为，，，，当球员乙出任边锋，中锋，后腰及中后卫时，球队赢球的概率依次为，，，，则某场比赛当球员乙参加比赛时，球队赢球的概率是多少？
参考数据及公式：，．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
18. 设为抛物线的焦点，，，为上三个不同的点，且，．
（1）求的方程；
（2）设过点的直线交于，两点．
①若直线交圆于，两点，其中，位于第一象限，求的最
小值；
②过点作的垂线，直线交于，两点，设线段，的中点分别为，，求证：直线过定点.
19.2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）；
方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠.
（1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）已知顾客恰好消费了500元，
（i） 若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）；
（ii） 试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理.
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．D
5．B
6．B
7．C
8.D
9.ABD
10.BCD
11．ACD
12.
13.
14．
15．（1）
（2）
（1）依题意，，
即，而，所以。
（2）二项式展开式的通项公式为，
则，，，，为正数，，，，为负数，
在中，令，，
令，得，
所以。
16．（1）不能认为球队胜负与球员甲是否参赛有关联；
(2)0.65。
（1）提出零假设：球队胜负与球员甲是否参赛无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分依据推断不成立，
推断零假设不成立，即认为球队胜负与球员甲参赛无关联。
（2）记，，，分别为事件“球员乙出任边锋、中锋、后腰、及中后卫”，为事件“球队赢球”，
则，，，，
，，，，
所以
.
故某场比赛当球员乙参加比赛时，球队赢球的概率为0.65.
17.
（1）取的中点，连接，，因为为的中点，
所以，且，
又，且，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）分别取，的中点，，连接，，则，，
因为平面，，平面，所以，，
所以，，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量，则即令，
解得，，所以，
设平面的一个法向量，则即令，
解得，，所以，
记平面与平面的夹角为，
则，。
又，所以，即平面与平面的夹角的大小为。
18.
（1）由抛物线，则，准线方程为，
由，，为上三个不同的点，设，，，
则，，，
由，则，
由，，，
且，则，
所以，解得，故椭圆的方程为。
（2）①由题意作图如下：
由，整理可得，则圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线，解得，则
，，
将代入圆，解得，则，，
所以，，此时；
当直线的斜率存在时，由题意可得，直线的方程可设为，设
，
联立可得，消去整理可得，
，，，
易知，，
所以，
由，，则，当且仅当，即，时，等号成
立，
综上所述，的最小值为4．
②证明：由题意可作图如下：
由题意可知直线的斜率存在且不为零，可设该直线方程为，
由①可得，设，，则，
由直线垂直直线，且垂足为，则该直线方程为，
联立，消去整理可得，
，
设，，则，
设，，且线段，的中点分别为，，
则，，
，，
当时，直线斜率存在，直线的斜率，
可得方程为，则，
整理可得，
令，解得，所以直线过定点。
当时，直线斜率不存在，易知，
直线的方程为，此时直线过；
综上所述，所以直线过定点。
19.（1）
（2）（i）分布列见解析，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理
（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，
在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩个红球和个蓝球，共个球，
若享受优惠，则后两次摸出个红球或摸出个红球个蓝球，
从个球中不放回地摸个球，总情况有种，
摸出两个红球的情况有种，摸出红蓝的情况有种，
所以，即能够享受优惠的概率为。
（2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元，
的取值有，，，，
从装有个红球，个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为，
当摸出个红球时，，
当摸出个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，。
所以顾客所获得的优惠金额的分布列为
0 100 200 400
所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为
。
（ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元，
的取值有，，，
当摸出0个红球或1个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，，
所以顾客所获得的优惠金额的分布列为
0 250 500
所以，
所以，
所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理。
数 学 试 题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把
答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔
在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、
草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8
张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（ ）
A．14 B．17 C．90 D．144
2．抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B．
C．3 D．6
3．若圆与圆外切，则为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．1或5
4．已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据
如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
5 6 9 12
8 7 2.4
A．
B．当时，
C．变量和呈负相关
D．该经验回归直线必过点
5．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排
成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
6．在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，为椭圆的左、右焦点，以为边作正三角形，若正三角形的另两条边的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的，男性占近期购车车主总数的，女性购车车主有购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．
9．的展开式中的有理项有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．从名男生，名女生中选取人，则其中至少有一名女生的概率为
B．若随机变量，则方差
C．若随机变量，，则
D．已知随机变量的分布列为，则
11．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，是上的动点，且，若直线与的右支交于，两点，的中点为，则下列说
法正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 若，的斜率分别为，，则
C. 若为坐标原点，且，的斜率分别为，，则
D. 若经过，则，的内心与三点共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点且与直线垂直的直线的方程为______．
13. 在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且，是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为______．
14. 对于两个事件，，若，，则称为事件，的相关系数．在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：玄武湖、梅花山、牛首山和银杏湖，每人只能去一个景点，若事件：梅花山景点至少有一人；事件：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人，则事件，的相关系数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
16. 今夏，业余足球比赛江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）刷屏，不仅点燃了全民足球热情，还成为人们争相热议的社会现象和文化符号．已知足球教练对球员的选拔使用是依据平常训练及参加比赛的大数据分析．为了考查球员甲对球队的贡献，作如下数据统计（假设球员甲参加过的比赛都决出了胜负）．
甲参加 甲未参加 总计
球队胜 29 11 40
球队负 3 7 10
总计 32 18 50
（1）试问：依据小概率值的独立性检验，能否认为球队胜负与球员甲参赛有关联？
（2）根据以往的数据统计，球员乙能够胜任边锋，中锋，后腰及中后卫四个位置，且出场概率分别为，，，，当球员乙出任边锋，中锋，后腰及中后卫时，球队赢球的概率依次为，，，，则某场比赛当球员乙参加比赛时，球队赢球的概率是多少？
参考数据及公式：，．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
18. 设为抛物线的焦点，，，为上三个不同的点，且，．
（1）求的方程；
（2）设过点的直线交于，两点．
①若直线交圆于，两点，其中，位于第一象限，求的最
小值；
②过点作的垂线，直线交于，两点，设线段，的中点分别为，，求证：直线过定点.
19.2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）；
方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠.
（1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）已知顾客恰好消费了500元，
（i） 若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）；
（ii） 试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理.
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．D
5．B
6．B
7．C
8.D
9.ABD
10.BCD
11．ACD
12.
13.
14．
15．（1）
（2）
（1）依题意，，
即，而，所以。
（2）二项式展开式的通项公式为，
则，，，，为正数，，，，为负数，
在中，令，，
令，得，
所以。
16．（1）不能认为球队胜负与球员甲是否参赛有关联；
(2)0.65。
（1）提出零假设：球队胜负与球员甲是否参赛无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分依据推断不成立，
推断零假设不成立，即认为球队胜负与球员甲参赛无关联。
（2）记，，，分别为事件“球员乙出任边锋、中锋、后腰、及中后卫”，为事件“球队赢球”，
则，，，，
，，，，
所以
.
故某场比赛当球员乙参加比赛时，球队赢球的概率为0.65.
17.
（1）取的中点，连接，，因为为的中点，
所以，且，
又，且，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）分别取，的中点，，连接，，则，，
因为平面，，平面，所以，，
所以，，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量，则即令，
解得，，所以，
设平面的一个法向量，则即令，
解得，，所以，
记平面与平面的夹角为，
则，。
又，所以，即平面与平面的夹角的大小为。
18.
（1）由抛物线，则，准线方程为，
由，，为上三个不同的点，设，，，
则，，，
由，则，
由，，，
且，则，
所以，解得，故椭圆的方程为。
（2）①由题意作图如下：
由，整理可得，则圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线，解得，则
，，
将代入圆，解得，则，，
所以，，此时；
当直线的斜率存在时，由题意可得，直线的方程可设为，设
，
联立可得，消去整理可得，
，，，
易知，，
所以，
由，，则，当且仅当，即，时，等号成
立，
综上所述，的最小值为4．
②证明：由题意可作图如下：
由题意可知直线的斜率存在且不为零，可设该直线方程为，
由①可得，设，，则，
由直线垂直直线，且垂足为，则该直线方程为，
联立，消去整理可得，
，
设，，则，
设，，且线段，的中点分别为，，
则，，
，，
当时，直线斜率存在，直线的斜率，
可得方程为，则，
整理可得，
令，解得，所以直线过定点。
当时，直线斜率不存在，易知，
直线的方程为，此时直线过；
综上所述，所以直线过定点。
19.（1）
（2）（i）分布列见解析，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理
（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，
在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩个红球和个蓝球，共个球，
若享受优惠，则后两次摸出个红球或摸出个红球个蓝球，
从个球中不放回地摸个球，总情况有种，
摸出两个红球的情况有种，摸出红蓝的情况有种，
所以，即能够享受优惠的概率为。
（2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元，
的取值有，，，，
从装有个红球，个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为，
当摸出个红球时，，
当摸出个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，。
所以顾客所获得的优惠金额的分布列为
0 100 200 400
所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为
。
（ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元，
的取值有，，，
当摸出0个红球或1个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，，
所以顾客所获得的优惠金额的分布列为
0 250 500
所以，
所以，
所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理。
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