江西宜春市奉新县第四中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

2025-2026学年上学期期末考试
高二年级数学试题卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
考生注意：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，，且.则的值为（ ）
A. B.
C.0 D.2
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
4. 直线，，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知随机变量，则（ ）
A.18 B.17 C.6 D.5
6. 若，则（ ）
A.120 B.240
C. D.
7. 全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同
学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ）
A．25种 B．150种 C．300种 D．50种
8．如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足
，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．关于的展开式的说法中正确的是（ ）
A．各项的系数之和为
B．二项式系数的和为64
C．展开式中无常数项
D．第4项的系数最大
10．如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．存在点，使得平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，
D. 若平面，则点的轨迹长度为
11. 已知曲线。点，，则以下说法正确的是（ ）
A. 曲线关于原点对称
B. 曲线存在点，使得
C. 直线与曲线没有交点
D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 根据下表数据得到关于的线性回归方程，则_____。
4 6 7 8 10
2 3 4 5 6
13. 设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为_________。
14. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_____。
四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点。
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16．近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以甲型H3N2亚型为主.为考察某新药预防甲流的效果，随机调查了400名居民进行了个体（单位：例）试验，（其中，患病表示患甲流）得到如下列联表：
（1）完成列联表：
服用新药情况 患病情况
未患病 患病 合计
未服用新药 100
服用新药 70
合计 250
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效？
（3）若用表中的频率估计概率，流感病毒来临之前，某同学等可能的选择服用和不服用药物，求该同学患甲流的概率.
附：，．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．已知圆的圆心在直线上，且经过点和.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程.
18．赣正如火如荼地举行中，宜春队2名队员在某次训练时，推出的球车中装有6个篮球，其中4个是新的，2个是旧的.进行两次取球使用：每次从球车中任取2个球来用，用完后放回球车中（新球用完后变为旧球）.设第一次取出的新球数为，第二次取出的新球数为.设最终球车中旧球数为.
（1）求的概率；
（2）已知最终球车中旧球数为，求第一次取出的新球数不超过的概率；
（3）求的分布列和数学期望.
19. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值．
1.A
2.A
3.B
4.A
5.A
6.C
7.B
8.D
9.AC
10.ACD
11．BCD
12．
13．8
14．
15.（1）连接，交于点，连接，
在中，点是的中点，点是的中点，可得，
因为平面，平面，所以平面.
（2）以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，则，，
设平面的法向量，则，
令，可得，，所以平面的法向量，
又由平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，则，，
所以平面和平面的夹角的余弦值为。
16.（1）由题意可得列联表，
服用新药情况 患病情况
未患病 患病 合计
未服用新药 100 80 180
服用新药 150 70 220
合计 250 150 400
（2）提出假设：药物对预防甲流无效，
由列联表得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为药物对预防甲流有效，该推断犯错误的概率不超过，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防甲流有效。
（3）用频率估计概率得未服用药物的个体患甲流的概率的估计值为；
服用药物的个体患甲流的概率的估计值为；
设事件表示“该同学服用新药”，事件表示“该同学患甲流”
所以.所以该同学患甲流的概率为.
17.（1）
（2）或
（1）设圆心，半径为，
则由题意可得解得；
所以圆的标准方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
则直线的方程为：，即.
由相切条件可得，
化简得：.解得：或.
直线的方程为或.
综上，直线的方程为：或.
18.（1）从球车中任取2个球的试验有个基本事件，的事件有个基本事件，
所以.
（2）由最终球车中旧球数为4，得，则，
，，
，，
因此，
所以第一次取出的新球数不超过1的概率为.
（3）最终球车中旧球数为，的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
2 3 4 5 6
数学期望.
19．（1）设椭圆的焦距为，因为的面积为，所以，设椭圆的方程为，
将代入方程得，，
易知，所以，因此，椭圆的方程为；
（2）存在这样的点为，下面证明：
设，，，所以要使得，
即
①；
联立 ，
由韦达定理得，，
代入可将①化简为，要使得式子关于恒成立，即此时，
所以点；
（3）设点，，，
因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的2倍除以周长，所
以，化简得，
故，
因为，代入得。
而，，
而，所以，即线段的长度为定值。