江西景德镇一中2025-2026学年第一学期期末考试高二（20班）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西景德镇一中2025-2026学年第一学期期末考试高二（20班）数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
高二20班上学期数学期末测试
一、单选题
1. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民进行编号，000，001，…，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95
41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96
A．084 B．295 C．049 D．253
2．某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：
83，84，86，87，88，90，93，96，这八人成绩的第60百分位数是．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比低的概率为（ ）
A． B．
C． D．
3．某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（ ）
A．抽取男生的样本量为40
B．估计该校高三学生身高的均值为165
C．抽样时女生甲被抽到的概率为
D．估计该校高三学生身高的方差为19
4．本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．图中的值为
B．估计样本数据的众数值为
C．估计样本数据的第分位数为
D．估计样本数据的平均数大于中位数
5．下列说法中，错误的有（ ）
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好；
④若随机变量服从正态分布，则函数为偶函数
A．个
B．个
C．个
D．个
6．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．投掷均匀的骰子，每次投得的点数为或时得分，投得的点数为，，，时得分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ）
A．投掷次骰子，最终得分的期望为
B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
D．设最终得分为分的概率为，则
8．在一个具有五个行政区域的地图上，用种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种
二、多选题
9．某班要举办一次学科交流活动，现安排，，，，这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ）
A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种
B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案
C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案
D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中不负责语文且不负责数学工作，则有138种不同的方案．
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
11．如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，．若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．圆锥的侧面积为
C. 四面体的体积的取值范围是
D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为
三、填空题
12. 展开式中含项的系数为___
13. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为________.
14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为，，，时得分，当点数为，时得分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是________；若抛掷次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为________.
四、解答题
15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8
失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7
（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．
（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到）
（2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用年的失效费．
附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
16．小霞十分喜欢吃糖，为了让小霞减少糖的摄入量，小霞妈妈做了4支棒棒糖模型，其外观、手感与质量与棒棒糖完全一致，并将2支棒棒糖和2支棒棒糖模型放在纸盒中.妈妈与小霞约定好：每当小霞想吃糖时即在该纸盒中随机抽取一支，若抽到棒棒糖模型时，重新放回原处；若抽到棒棒糖时，吃完后，妈妈补放1支棒棒糖模型.如此操作，直到2支棒棒糖被吃完.
（1）求小霞在第1次抽到棒棒糖模型的条件下，第4次恰好吃完2支棒棒糖的概率；
（2）在抽取2次后，纸盒中棒棒糖模型的支数恰好为，求的分布列与数学期望；
（3）记“恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完”的概率为，求.
17．DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据（单位：人）：
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 55 45 100
合计 120 80 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，.
（i）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．已知边长为1的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点.
（1）求体积的最大值；
（2）若.
（i）时，求外接球的表面积；
（ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由.
19．在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏（累计先胜2局者获得最终胜利），甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.
（1）若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；
（2）记“局胜”（）制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：；
（3）教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支（且），老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：.
1.C
2.C
3.C
4．C
5．A
6．C
7．D
8．D
9．BCD
10．BD
11．ACD
12．
13．
14． 84或82
15．（1），线性相关性很强
（2），万元
（1）由表知，，，
，
，，
，
故，认为与线性相关性很强；
（2）由（1）知，，
又，，
故关于的线性回归方程为，
当时，，即估算年的失效费为万元．
16．（1）设小霞第1次抽到棒棒糖模型为事件，第4次恰好吃完2支棒棒糖为事件，
所以事件意味着第1次抽到棒棒糖模型，第4次抽到棒棒糖，
则第2次和第3次中有一次抽到1次棒棒糖，1次棒棒糖模型，
则，，
故；
（2）的可能取值为2，3，4，
，即两次均抽到棒棒糖模型，，
，即两次中，1次抽到棒棒糖模型，1次抽到棒棒糖，，
，两次均抽到棒棒糖，，
所以分布列如下：
2 3 4
故数学期望为；
（3）恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完，
设第（）次抽到第一支棒棒糖，则第次抽到第2支棒棒糖的概率为
，
所以
17.（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关
（2）（i）；（ii）
（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关.
（2）（i）当甲、乙同时回答第道题时，甲得分为，
，，.
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
则，，
，
所以比赛结束后甲获胜的概率
（ii）设，，
其中甲三道题都做对，乙对一道错两道的概率为：，
其中一题两人均对，一题两人均错，一题甲对乙错的概率为：
，
其中一题甲错乙对，另两题甲均对，乙错的概率为：，
，由（1）知，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为。
18.（1）
（2） 为定值，
（1）连接，交于点，连接，作，垂足为，连接，
$\because AE = AD = \lambda(0 < \lambda < 1), AB = AC = BC = 1, \therefore DE \parallel BC, DE = \lambda,$
，又，
；
，，，
为中点，是边长为1的等边三角形，，
，，即；
，，，
即，，又，，平面，
平面，又平面，，
，，平面，平面，
，
若四棱锥体积最大，则，
此时；
令，则，
令，解得：，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即四棱锥体积最大值为。
（2）由（1）得：为中点，，即，又，
即为二面角 的平面角，，
则以 为坐标原点，， 正方向为 ， 轴正方向，过 作 轴 平面 ，可建立如图所示空间直角坐标系，
（i）当 时，，，，，
，
设三棱锥 的外接球球心为 ，半径为 ，则 ，
，解得：，，
此时 ，即点 在三棱锥 的外接球上，
三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，
四棱锥 外接球的表面积 。
（ii）由题意知：，，，
，，，
，，，
，，三点共线， 平面即为平面，
设，则，
，
平面，
，解得：，
，又，，
又，，
，即的长度为定值，定值为.
19.（1）设事件为“局胜”制游戏中甲获得最终胜利
法一：
事件等效于甲乙进行局比赛且甲至少赢局.
记局比赛中甲赢的局数为，由题意得
法二：
事件分三种情况
①比赛局数为3，甲3局全胜
②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局
③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局
（2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则
且。
“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利
若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局
若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局
由全概率公式得
故。
（3）不妨设有无数支粉笔
题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”
“总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”。
设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则
事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，
由对称性可知.
注意到
得证.
一、单选题
1. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民进行编号，000，001，…，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95
41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96
A．084 B．295 C．049 D．253
2．某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：
83，84，86，87，88，90，93，96，这八人成绩的第60百分位数是．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比低的概率为（ ）
A． B．
C． D．
3．某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（ ）
A．抽取男生的样本量为40
B．估计该校高三学生身高的均值为165
C．抽样时女生甲被抽到的概率为
D．估计该校高三学生身高的方差为19
4．本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．图中的值为
B．估计样本数据的众数值为
C．估计样本数据的第分位数为
D．估计样本数据的平均数大于中位数
5．下列说法中，错误的有（ ）
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好；
④若随机变量服从正态分布，则函数为偶函数
A．个
B．个
C．个
D．个
6．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．投掷均匀的骰子，每次投得的点数为或时得分，投得的点数为，，，时得分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ）
A．投掷次骰子，最终得分的期望为
B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
D．设最终得分为分的概率为，则
8．在一个具有五个行政区域的地图上，用种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种
二、多选题
9．某班要举办一次学科交流活动，现安排，，，，这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ）
A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种
B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案
C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案
D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中不负责语文且不负责数学工作，则有138种不同的方案．
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
11．如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，．若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．圆锥的侧面积为
C. 四面体的体积的取值范围是
D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为
三、填空题
12. 展开式中含项的系数为___
13. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为________.
14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为，，，时得分，当点数为，时得分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是________；若抛掷次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为________.
四、解答题
15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8
失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7
（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．
（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到）
（2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用年的失效费．
附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
16．小霞十分喜欢吃糖，为了让小霞减少糖的摄入量，小霞妈妈做了4支棒棒糖模型，其外观、手感与质量与棒棒糖完全一致，并将2支棒棒糖和2支棒棒糖模型放在纸盒中.妈妈与小霞约定好：每当小霞想吃糖时即在该纸盒中随机抽取一支，若抽到棒棒糖模型时，重新放回原处；若抽到棒棒糖时，吃完后，妈妈补放1支棒棒糖模型.如此操作，直到2支棒棒糖被吃完.
（1）求小霞在第1次抽到棒棒糖模型的条件下，第4次恰好吃完2支棒棒糖的概率；
（2）在抽取2次后，纸盒中棒棒糖模型的支数恰好为，求的分布列与数学期望；
（3）记“恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完”的概率为，求.
17．DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据（单位：人）：
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 55 45 100
合计 120 80 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，.
（i）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．已知边长为1的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点.
（1）求体积的最大值；
（2）若.
（i）时，求外接球的表面积；
（ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由.
19．在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏（累计先胜2局者获得最终胜利），甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.
（1）若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；
（2）记“局胜”（）制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：；
（3）教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支（且），老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：.
1.C
2.C
3.C
4．C
5．A
6．C
7．D
8．D
9．BCD
10．BD
11．ACD
12．
13．
14． 84或82
15．（1），线性相关性很强
（2），万元
（1）由表知，，，
，
，，
，
故，认为与线性相关性很强；
（2）由（1）知，，
又，，
故关于的线性回归方程为，
当时，，即估算年的失效费为万元．
16．（1）设小霞第1次抽到棒棒糖模型为事件，第4次恰好吃完2支棒棒糖为事件，
所以事件意味着第1次抽到棒棒糖模型，第4次抽到棒棒糖，
则第2次和第3次中有一次抽到1次棒棒糖，1次棒棒糖模型，
则，，
故；
（2）的可能取值为2，3，4，
，即两次均抽到棒棒糖模型，，
，即两次中，1次抽到棒棒糖模型，1次抽到棒棒糖，，
，两次均抽到棒棒糖，，
所以分布列如下：
2 3 4
故数学期望为；
（3）恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完，
设第（）次抽到第一支棒棒糖，则第次抽到第2支棒棒糖的概率为
，
所以
17.（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关
（2）（i）；（ii）
（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关.
（2）（i）当甲、乙同时回答第道题时，甲得分为，
，，.
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
则，，
，
所以比赛结束后甲获胜的概率
（ii）设，，
其中甲三道题都做对，乙对一道错两道的概率为：，
其中一题两人均对，一题两人均错，一题甲对乙错的概率为：
，
其中一题甲错乙对，另两题甲均对，乙错的概率为：，
，由（1）知，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为。
18.（1）
（2） 为定值，
（1）连接，交于点，连接，作，垂足为，连接，
$\because AE = AD = \lambda(0 < \lambda < 1), AB = AC = BC = 1, \therefore DE \parallel BC, DE = \lambda,$
，又，
；
，，，
为中点，是边长为1的等边三角形，，
，，即；
，，，
即，，又，，平面，
平面，又平面，，
，，平面，平面，
，
若四棱锥体积最大，则，
此时；
令，则，
令，解得：，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即四棱锥体积最大值为。
（2）由（1）得：为中点，，即，又，
即为二面角 的平面角，，
则以 为坐标原点，， 正方向为 ， 轴正方向，过 作 轴 平面 ，可建立如图所示空间直角坐标系，
（i）当 时，，，，，
，
设三棱锥 的外接球球心为 ，半径为 ，则 ，
，解得：，，
此时 ，即点 在三棱锥 的外接球上，
三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，
四棱锥 外接球的表面积 。
（ii）由题意知：，，，
，，，
，，，
，，三点共线， 平面即为平面，
设，则，
，
平面，
，解得：，
，又，，
又，，
，即的长度为定值，定值为.
19.（1）设事件为“局胜”制游戏中甲获得最终胜利
法一：
事件等效于甲乙进行局比赛且甲至少赢局.
记局比赛中甲赢的局数为，由题意得
法二：
事件分三种情况
①比赛局数为3，甲3局全胜
②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局
③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局
（2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则
且。
“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利
若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局
若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局
由全概率公式得
故。
（3）不妨设有无数支粉笔
题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”
“总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”。
设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则
事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，
由对称性可知.
注意到
得证.
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