江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 88.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
江西吉安市学年高二上学期期末教学质量检测数学试题
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 倾斜角为135°，在y轴上的截距为的直线方程是（ ）
A．x -．．．
2. 圆心为(2，1)且过点(，5)的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3. 二项式的展开式中第四项的系数是（ ）
A．15 B．20
C．．240
4. 设，为椭圆的两个焦点，点P在C上，若，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
5. 如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（ ）
A.120种 B.96种 C.72种 D.48种
7. 已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A.8 B.
C.10 D.
8. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（ ）
A. B.8
C. D.12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，，
10. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知两定点，，动点满足，设点的轨迹为曲线，下列说法中正确的有（ ）
A. 的横坐标取值范围是
B. 不存在点，使得
C. 最小值为
D. 的面积最大值为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为________.
13. 直线与直线，若，则________.
14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为________.
四、解答题：本题共\（5 \）小题，共\（77 \）分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某社区文化节需安排个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数：
（1）民族舞节目不能安排在第一个表演时段；
（2）古筝演奏节目与相声节目必须相邻.
16. 已知双曲线的离心率，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知为双曲线的左焦点，为双曲线上一点，且线段的中垂线倾斜角为，求的值（为坐标原点）.
17. 已知圆心为的圆经过点，，半径为4，且圆心位于第二象限，
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线交圆于另一点，连接，，若扇形的面积为，求直线的方程.
18. 如图，在四棱锥中，，，.
（1）证明：平面；
（2）若点，，，，都在半径为的球的表面上，
（i） 求的长度；
（ii） 棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知点，为椭圆上的两点，点为椭圆外一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，其中点在轴下方，连接.
（i） 求，两点的坐标；
（ii） 过点作椭圆的一条割线，交椭圆于，两点（，，，是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线恒过定点.
1.D
2.C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8．C
9．ABD
10．BD
11．ACD
12．2
13．3
14．
15．(1)18
(2)12
16.（1）
（2）
（1），
双曲线过点，代入得
解得，.
双曲线方程为
（2）解法一线段的中垂线倾斜角为，
中垂线斜率为.
中垂线与垂直，
直线的斜率为.
又直线过点，
直线的方程为.
联立方程组解得点的坐标为.
为坐标原点，
.
解法二线段的中垂线倾斜角为，且中垂线与垂直，
直线的倾斜角为，与渐近线的倾斜角相等，即直线与渐近线平行.
点在双曲线左支上.
设右焦点为，根据双曲线定义可得
.
设，则.
在中，由余弦定理得：
，
解得，即.
在△PFO中，由余弦定理得：
17.（1）
（2）或.
（1）设圆心，因圆心在第二象限，故，，圆的标准方程为
.
将，代入方程，得：
解得或（舍去）
∴圆的标准方程为：.
（2）扇形面积公式为，已知，，代入得：
，解得，
即圆心角.
∴圆心到直线的距离.
①当直线斜率不存在时，直线轴，不合题意，舍去.
②当直线斜率存在时，设斜率为，
则直线的方程为，即.
则，解得.
∴直线的方程为或
18.（1）连接，过点作于点，
则，.
在中，.
在中，.
.
.
，即，且，平面，平面，
平面.
，
又，且与相交，平面，平面.
平面，
（2）（i）如图，以点为原点，，所在直线分别为轴，轴，在平面上作
过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，.
为等腰梯形，且
的外接圆圆心为的中点，记为.
根据球心的性质可知，球心在过点且垂直于底面的垂线上.
设，则球心为。
由球的半径，得，
解得，故。
从而。
（ii）由（i）可知，，。
设，
则。
设平面的一个法向量，
则。
令，则，。
故可取。
设平面的一个平面的法向量，
则。
令，则，。
故可取。
∵二面角的余弦值为，
∴，，
即，
解得或（负值舍去）。
∴棱上存在满足题意的点，此时。
19.（1）由题意得解得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）显然直线的斜率为，点为，
直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
联立得（）
则，
解得或（舍去）.
将代入（）得，
.
，两点的坐标分别为，.
（ii）由（i）可知直线的方程为，
，则.
当直线经过原点时，直线的方程为，
联立解得或
不妨设点在轴上方，则，。
直线的方程为：，即。
联立，解得点。
为的中点，点为。
又，
直线为：，经过点。
猜想直线恒过定点，
下证一般情况仍然成立：
要证直线过定点，
即证，
设点，，则直线的方程为，
联立，得，
则点为。
，。
即证，
即证，
即证（）
显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得，，
，
显然成立，
所以，即直线 恒过定点 。
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 倾斜角为135°，在y轴上的截距为的直线方程是（ ）
A．x -．．．
2. 圆心为(2，1)且过点(，5)的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3. 二项式的展开式中第四项的系数是（ ）
A．15 B．20
C．．240
4. 设，为椭圆的两个焦点，点P在C上，若，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
5. 如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（ ）
A.120种 B.96种 C.72种 D.48种
7. 已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A.8 B.
C.10 D.
8. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（ ）
A. B.8
C. D.12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，，
10. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知两定点，，动点满足，设点的轨迹为曲线，下列说法中正确的有（ ）
A. 的横坐标取值范围是
B. 不存在点，使得
C. 最小值为
D. 的面积最大值为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为________.
13. 直线与直线，若，则________.
14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为________.
四、解答题：本题共\（5 \）小题，共\（77 \）分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某社区文化节需安排个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数：
（1）民族舞节目不能安排在第一个表演时段；
（2）古筝演奏节目与相声节目必须相邻.
16. 已知双曲线的离心率，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知为双曲线的左焦点，为双曲线上一点，且线段的中垂线倾斜角为，求的值（为坐标原点）.
17. 已知圆心为的圆经过点，，半径为4，且圆心位于第二象限，
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线交圆于另一点，连接，，若扇形的面积为，求直线的方程.
18. 如图，在四棱锥中，，，.
（1）证明：平面；
（2）若点，，，，都在半径为的球的表面上，
（i） 求的长度；
（ii） 棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知点，为椭圆上的两点，点为椭圆外一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，其中点在轴下方，连接.
（i） 求，两点的坐标；
（ii） 过点作椭圆的一条割线，交椭圆于，两点（，，，是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线恒过定点.
1.D
2.C
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8．C
9．ABD
10．BD
11．ACD
12．2
13．3
14．
15．(1)18
(2)12
16.（1）
（2）
（1），
双曲线过点，代入得
解得，.
双曲线方程为
（2）解法一线段的中垂线倾斜角为，
中垂线斜率为.
中垂线与垂直，
直线的斜率为.
又直线过点，
直线的方程为.
联立方程组解得点的坐标为.
为坐标原点，
.
解法二线段的中垂线倾斜角为，且中垂线与垂直，
直线的倾斜角为，与渐近线的倾斜角相等，即直线与渐近线平行.
点在双曲线左支上.
设右焦点为，根据双曲线定义可得
.
设，则.
在中，由余弦定理得：
，
解得，即.
在△PFO中，由余弦定理得：
17.（1）
（2）或.
（1）设圆心，因圆心在第二象限，故，，圆的标准方程为
.
将，代入方程，得：
解得或（舍去）
∴圆的标准方程为：.
（2）扇形面积公式为，已知，，代入得：
，解得，
即圆心角.
∴圆心到直线的距离.
①当直线斜率不存在时，直线轴，不合题意，舍去.
②当直线斜率存在时，设斜率为，
则直线的方程为，即.
则，解得.
∴直线的方程为或
18.（1）连接，过点作于点，
则，.
在中，.
在中，.
.
.
，即，且，平面，平面，
平面.
，
又，且与相交，平面，平面.
平面，
（2）（i）如图，以点为原点，，所在直线分别为轴，轴，在平面上作
过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，.
为等腰梯形，且
的外接圆圆心为的中点，记为.
根据球心的性质可知，球心在过点且垂直于底面的垂线上.
设，则球心为。
由球的半径，得，
解得，故。
从而。
（ii）由（i）可知，，。
设，
则。
设平面的一个法向量，
则。
令，则，。
故可取。
设平面的一个平面的法向量，
则。
令，则，。
故可取。
∵二面角的余弦值为，
∴，，
即，
解得或（负值舍去）。
∴棱上存在满足题意的点，此时。
19.（1）由题意得解得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）显然直线的斜率为，点为，
直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
联立得（）
则，
解得或（舍去）.
将代入（）得，
.
，两点的坐标分别为，.
（ii）由（i）可知直线的方程为，
，则.
当直线经过原点时，直线的方程为，
联立解得或
不妨设点在轴上方，则，。
直线的方程为：，即。
联立，解得点。
为的中点，点为。
又，
直线为：，经过点。
猜想直线恒过定点，
下证一般情况仍然成立：
要证直线过定点，
即证，
设点，，则直线的方程为，
联立，得，
则点为。
，。
即证，
即证，
即证（）
显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得，，
，
显然成立，
所以，即直线 恒过定点 。
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