江西九江市武宁尚美中学2025-2026学年度上学期2月期末考高二数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西九江市武宁尚美中学2025-2026学年度上学期2月期末考高二数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 94.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
江西省九江市武宁尚美中学年学年度上学期2月
期末考高二数学试题
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1．在空间直角坐标系中，点，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
4．三个数，，成等比数列，的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．椭圆的右焦点到直线的距离为（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图，在四面体中，，，，点在上，且，
为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、
火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（ ）
A．12 B．24 C．72 D．48
8．已知是双曲线的左焦点，为圆上一点，直线的倾斜角是，直线与双曲线的两条渐近线交于、两点，且恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.
9．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．
B．
C．为递减数列
D．
10．已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为
B．复数在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
11．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，，则（ ）
A．
B．的对称轴在的对称轴的左边
C．
D．的最高点在的最高点的上方
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12．椭圆的离心率为．
13．已知有三个零点，则的范围是__________．
14．以为一个焦点，渐近线是的双曲线方程是________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知是圆：外一点.
（1）求的取值范围；
（2）若是负偶数，过点作圆的切线，求切线的方程.
16．已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程.
17．某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是．
（1）求的值；
（2）估计该校学生视力的平均值；
（3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于的概率．
18．如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，是的中点，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
19. 已知函数，，其中常数，.
（1）当时，是图象的一条切线，求；
（2）当时，，有，求的最大值；
（3），，使得，且，请判断与的大小.
1．B
2．D
3．A
4．C
5．A
6．B
7．D
8．A
9.AD
10．AB
11．ACD
12.
13.
14.
15.（1）
（2）或.
（1）因为方程表示圆，
所以，解得.
又是圆：外一点，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）由题可知，则圆：，
即，圆的圆心为，半径为3.
当切线的斜率不存在时，切线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，故满足相切关系；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即.
故所求切线的方程为或.
16.（1）
（2）与
（1）设圆心，设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，由，可得，
整理得：，解得或（舍去）.
故圆心，圆上一点，半径，
故圆的方程为：.
（2）
当过的直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
圆心到直线的距离，故是圆的切线；
当过的直线的斜率存在时，可设切线为，
可化成一般式，圆心到该直线的距离为，即，
整理得，解得，此时切线为，
化成一般式得。
综上所述，过点作圆的切线方程为与。
17.（1）；（2）；（3）。
解：（1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是，故直方图中从左到右各组频率依次为，， ，， ，而组距为
故
（2）设该校学生视力平均值为，则
（3）由第组至第组的频率比为得，从第组抽取的人数为人，记为，，；
从第组抽取的人数为人，记为，；从第组抽取的人数为人，记为， 则从这人中随机抽取两名学生的情况有：
，，，，
，，，
，，
，
共种，
其中视力不低于的有，，共种，
故从样本中视力属于第组至第组的所有学生中随机抽取六名学生，抽出的学生中有两名
视力不低于0.8的概率为.
18．（1）因为为等边三角形，且是的中点，
所以，又，且，，面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）设，取的中点为，连接，得
由（1）知：平面，所以平面，
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
得，，，，所以，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设平面的法向量为，则
，
取，可得，，所以，
则，，
所以平面与平面所成角的正弦值为，
即平面与平面所成角的正弦值为。
19.(1)
（2）
(3)
（1） 已知函数，，当时，，
设切点为，则，由第二个式子，代入第一个式子，
再代入得到，解得
（2）当时，，，
因为，有，两边取对数得，
整理得，设，求导，
令得（唯一极小值点），
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
因此，
代入不等式得，即，
时，不等式成立；
若，所以，不等式等价于，解得
当时，
在处，最小值，当时，
因此的最大值为。
（3）已知，且，即，
两式相乘，两式相除，
两边取自然对数，，
设，，得，，，，故
由，得，
令，求导
因为，，所以，即在上单调递增；
当时，，故（但，故不能等于1）
当增大时，增大，也增大，结合，的单调性，可知
（因为时，，），故
由，因为，，，所以，即，
再结合和的对称性，以及，推得
期末考高二数学试题
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1．在空间直角坐标系中，点，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
4．三个数，，成等比数列，的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．椭圆的右焦点到直线的距离为（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图，在四面体中，，，，点在上，且，
为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、
火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（ ）
A．12 B．24 C．72 D．48
8．已知是双曲线的左焦点，为圆上一点，直线的倾斜角是，直线与双曲线的两条渐近线交于、两点，且恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.
9．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．
B．
C．为递减数列
D．
10．已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为
B．复数在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
11．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，，则（ ）
A．
B．的对称轴在的对称轴的左边
C．
D．的最高点在的最高点的上方
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12．椭圆的离心率为．
13．已知有三个零点，则的范围是__________．
14．以为一个焦点，渐近线是的双曲线方程是________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知是圆：外一点.
（1）求的取值范围；
（2）若是负偶数，过点作圆的切线，求切线的方程.
16．已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程.
17．某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是．
（1）求的值；
（2）估计该校学生视力的平均值；
（3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于的概率．
18．如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，是的中点，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
19. 已知函数，，其中常数，.
（1）当时，是图象的一条切线，求；
（2）当时，，有，求的最大值；
（3），，使得，且，请判断与的大小.
1．B
2．D
3．A
4．C
5．A
6．B
7．D
8．A
9.AD
10．AB
11．ACD
12.
13.
14.
15.（1）
（2）或.
（1）因为方程表示圆，
所以，解得.
又是圆：外一点，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）由题可知，则圆：，
即，圆的圆心为，半径为3.
当切线的斜率不存在时，切线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，故满足相切关系；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即.
故所求切线的方程为或.
16.（1）
（2）与
（1）设圆心，设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，由，可得，
整理得：，解得或（舍去）.
故圆心，圆上一点，半径，
故圆的方程为：.
（2）
当过的直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
圆心到直线的距离，故是圆的切线；
当过的直线的斜率存在时，可设切线为，
可化成一般式，圆心到该直线的距离为，即，
整理得，解得，此时切线为，
化成一般式得。
综上所述，过点作圆的切线方程为与。
17.（1）；（2）；（3）。
解：（1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是，故直方图中从左到右各组频率依次为，， ，， ，而组距为
故
（2）设该校学生视力平均值为，则
（3）由第组至第组的频率比为得，从第组抽取的人数为人，记为，，；
从第组抽取的人数为人，记为，；从第组抽取的人数为人，记为， 则从这人中随机抽取两名学生的情况有：
，，，，
，，，
，，
，
共种，
其中视力不低于的有，，共种，
故从样本中视力属于第组至第组的所有学生中随机抽取六名学生，抽出的学生中有两名
视力不低于0.8的概率为.
18．（1）因为为等边三角形，且是的中点，
所以，又，且，，面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）设，取的中点为，连接，得
由（1）知：平面，所以平面，
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
得，，，，所以，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设平面的法向量为，则
，
取，可得，，所以，
则，，
所以平面与平面所成角的正弦值为，
即平面与平面所成角的正弦值为。
19.(1)
（2）
(3)
（1） 已知函数，，当时，，
设切点为，则，由第二个式子，代入第一个式子，
再代入得到，解得
（2）当时，，，
因为，有，两边取对数得，
整理得，设，求导，
令得（唯一极小值点），
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
因此，
代入不等式得，即，
时，不等式成立；
若，所以，不等式等价于，解得
当时，
在处，最小值，当时，
因此的最大值为。
（3）已知，且，即，
两式相乘，两式相除，
两边取自然对数，，
设，，得，，，，故
由，得，
令，求导
因为，，所以，即在上单调递增；
当时，，故（但，故不能等于1）
当增大时，增大，也增大，结合，的单调性，可知
（因为时，，），故
由，因为，，，所以，即，
再结合和的对称性，以及，推得
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