江西景德镇一中2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试卷（含答案）

景德镇一中学年度第一学期期末考试高二数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
2. 把2名新生分配到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（ ）
A.3种 B.4种 C.6种 D.8种
3. 已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知随机变量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 的二项展开式中二项系数最大的项是（ ）
A.
B.
C. 和
D. 和
6. 正四面体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为.若，则此四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
8. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子三次，依次记录向上的点数.记为前两次点数的平均值，为三次点数的平均值，则与的差的绝对值不超过的概率是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 在的展开式中（ ）
A. 常数项为
B. 各项二项式系数的和为
C. 各项系数的和为
D. 各项系数的绝对值之和为
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则
B. 向量，，则在上的投影向量为
C. 向量，，共面
D. 平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为
11. 五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有种
C. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有种
D. 若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有种
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在答题卡中对应题号的横线上）
12. 已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为150分，阅卷结果显示，全市100000名学生的数学成绩近似服从正态分布，则这次考试数学成绩超过140分的人数约为______．（附：若随机变量服从，则，，）
13. 的展开式中的系数为______．
14. 已知有，两个盒子，其中盒装有2个黑球和1个白球，盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒，盒中球的个数保持不变的概率是______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 25 150 175
女性 50 75 125
合计 75 225 300
（1）对照列联表，能否有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？
（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望．
附：，．
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16．为促进消费，助力经济发展，某市持续开展了共8期政府消费券发放活动，记第期活动发放的消费券总额为百万元，带动的消费为百万元，根据这8期活动的数据，可得，，且和的样本方差分别为，，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为。
（1）求；
（2）若下一期活动政府计划发放10.8百万元的消费券，预计可以带动多少消费；
（3）求相关系数。（结果保留2位小数）
参考公式：相关系数，线性回归方程中，
，。参考数据：。
17．如图1，平行四边形，，，沿折起，折后的点记为，，如图2.设，，。
（1）求的大小，并写出二面角的大小（不写解答过程）；
（2）求平面的法向量（用，，表示）；
（3）求与平面所成角的正弦值。
18．育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，、、，，，，且每人能否闯关成功互不影响.
（1）已知，，
（i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望；
（ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率.
（2）若，甲安排在第一位参赛，应如何安排乙、丙的参赛顺序使该队比赛结束后所获积分的期望最大，说明理由.
19. 如图，在四棱锥中，平面，。
（1）证明：平面；
（2）若底面是正方形，。为中点，点在棱上，且平面与平面的夹角的余弦值为\（ 。
（i）求；
（ii）平面交于点，点在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围。
1．B
2．C
3．C
4．D
5．C
6．D
7．B
8.A
9.ACD
10．BCD
11．CD
12．2275
13．
14．
15.（1） 提出假设：关注“苏超”赛事与性别无关，
，则假设不成立，
所以有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关.
（2） 关注赛事的市民中，男性150人，女性75人，
由分层抽样知，抽取男性市民4人，女性市民2人，
的取值为，，，
，
，
，
所以。
16.(1)
(2)
(3)
（1） 解：由，，可得，，
所以数据的样本中心为，代入回归方程，
可得，解得。
（2） 解：由（1）知：，所以回归直线方程为，
当时，可得百万元，
故预计可以带动消费百万元。
（3） 解：由，，
可得 ，
又由 ，可得 ，
解得 ，
所以 。
17.（1） ，，
（2）
（3）
（1）由题意得，，，，
因为，，
所以，
得，即，，，
因为，所以，，
因为，，所以向量，的夹角为二面角的平面角，
因为，，，所以，，
故二面角的平面角为；
（2）设平面的法向量为，
则，
令，则，
则平面的法向量为
（3）因为，
，
则，，
故与平面所成角的正弦值为。
18.（1）（i）依题意的可能取值为，，，，
则，
，
，。
所以；
（ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功，
所以该队比赛结束后所获积分的概率为。
（2）若顺序为“甲乙丙”：积分的可能取值为，，，，
则，，
，.
所以
若顺序为“甲丙乙”：积分的可能取值为0，10，20，30，
则，，
，.
所以
，
由于，，所以，，
所以乙在丙前参赛.
19.（1）因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，，
所以平面.
（2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角
坐标系，如图.
（i），，，
，，，设，
则。
设平面的法向量为，则即，
取，得，，
所以是平面的一个法向量，
因为平面，所以是平面的一个法向量。
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，，得，所以。
（ii）设，则。
因为为平面的一个法向量，所以，
所以，即，得，
所以，。
，，，，，
因为在平面上，所以，
所以。
设平面的法向量，则即，
取得，所以是平面的一个法向量，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
因为 ，所以
即 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 。