江西科技学院附属中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题（含答案）

江科附中2025~2026学年第一学期高二年级期末考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A． B．
C． D．
2．若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A． B．
C．1 D．0
3．是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
4．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（ ）
A．32 B．64
C． D．
5．已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ）（残差=观察值 估计值）
A．2 B．
C． D．1
6．如图，在等边三角形中，点，分别在边，边上，且，，将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．
C． D．
7．在单项选择题中，每道题有ABCD四个选项，其中仅有一个选项正确．学生小张与小李两人对同一题在选项ABCD中随机选择一项．事件：两人选择都正确；事件：两人选择都错误；事件：至少有一人选择正确，则（ ）
A．与互为对立事件
B．与互斥
C．
D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．已知数列为等差数列，若，则
B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项
C．在数列，，，，，，第8个数是
D．数列的前项和为，已知，是递增数列
10．已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一
次评定为合格的概率为. 已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（ ）
A. 若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为
B. 若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为
C. 若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序
D. 若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序
11. 过点的直线与抛物线交于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两切线交于点，为坐标原点，直线交直线于点，则下列选项正确的是（ ）
A. 点的横坐标为定值
B. 可能是直角
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的展开式共有9项，则该展开式中含的项的系数为____________.
13. 设数列的前项和为，，，，则____.
14. 现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有90%的同学“十分关注”，女生中有70%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.
（1）根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取人进行科普类培训，再从这人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有名男生的概率.
附：，其中．
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
16．已知各项递增的等比数列，等差数列其前项和分别为，，满足
，，．
（1）求，的通项公式；
（2）将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前项和．
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，．
（1）求线段的长；
（2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知双曲线的虚轴长为，其中一条渐近线方程为．且，分别是双曲线的
左、右顶点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，。
①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
②设，，，若，（），求的面积.
19. 若随机变量，均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中，，，，。
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得分，不进球得分；未抽中者不点球，得分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为，乙得分为。
（1）求，；
（2）求；
（3）已知随机事件发生了，求随机变量的分布列与数学期望.
1.B
2.D
3.C
4.A
5.B
6.B
7.C
8.A
9．ABC
10.ABD
11.ACD
12．252
13．2760
14．
15.（1）由题意可得列联表：
男 女 合计
十分关注 45 35 80
比较关注 5 15 20
合计 50 50 100
，
没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关。
（2）由题意知，人中男生人，女生人。
记“人中至少有名男生”为事件，
则.
16.（1），
(2)2106
（1）设等比数列的首项为，公比为，
显然且.
由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以，
所以；
，
，，所以.
（2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…，
依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，
所以
.
17.(1)
（2）存在，
（1）以为坐标原点，，，正方向为，，轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
，即。
（2）设，则，，
设平面的法向量，
，令，则，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，，即，
解得：或（舍），即，
当时，平面与平面夹角的余弦值为。
18.（1）
（2）①定值，②
（1）由题意可设双曲线：（，），
则解得，
所以双曲线的方程为.
（2）如图所示，
①为定值.理由如下：
由题意知，，，
设，，直线的方程为，
由消元得，
则，，且，
所以，
所以
，
故为定值.
②由①知，，设直线的斜率为，则，
又，所以，
所以.
又，，所以，
由可得，即，
又，所以（舍），．
所以直线的方程为．
由可得：，即点的纵坐标为，
所以．
19．（1）由题意有，的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
所以，
因为，是不可能事件，
所以；
（2）表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以，
所以；
（3）表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽
所以，
又的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以，
，
，
所以的分布列为
所以