江西抚州市临川第一中学2025-2026学年上学期期末质量检测高二数学试题（含答案）

临川一中2学年上学期期末考试
高二年级数学试卷
一、单选题
1．已知随机变量，且，则（ ）
A．　　　　 B．　　　　
C．　　　　 D．
2．若是空间的一个基底，则下列集合可构成空间的一个基底的是（ ）
A．　　 B．　
C．　 D．
3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A．　　 B．　　
C．　　 D．
4．在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．　　　　 B．4　　　　
C．5　　　　 D．6
5．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种.
A．18　　　　 B．24　　　　 C．27　　　　 D．64
6．已知椭圆的上，下顶点分别为，，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．　　　　 B．　　
C．　　 D．
7．某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，…，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则的概率为（ ）
A．　　 B．　　
C．　　 D．
8．如图所示，已知抛物线过点，圆．过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，则的最小值为（ ）
A．23 B．42 C．12 D．13
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．，夹角为锐角
B．与相互垂直
C．
D．以，为邻边的平行四边形的面积为
10．掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ）
A．和互斥
B．和独立
C．
D．
11．（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A．若点，，则
B．若点，，则在轴上存在点，使得
C．若点，点在直线上，则的最小值是3
D．若点在上，点在直线上，则的值可能是
三、填空题
12．若随机变量，则的值为．
13．的展开式中，的系数为．
14．已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为．
四、解答题
15．（1）计算：；（结果用数字表示）
（2）解不等式：；
16．已知点和圆：．
（1）求经过点的圆的切线方程；
（2）若是圆上一动点，求的取值范围．
17．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
18．有媒体称开启了我国新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计
，.
（1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为.
（i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值.
（ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望.
参考公式与数据：，其中.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．已知一动圆与直线相切且过定点.
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）、是的轨迹上异于原点的两点；
（i）若，求面积最小值；
（ii）直线、的倾斜角分别为与，当时，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
1．B
2．A
3．A
4．B
5.
6.
7.C
8.D
9．ABD
10．ACD
11．ACD
12．10
13．
14．
15.（1）；（2）或
（1）由题意可知：
；
（2）因为，可知，且，
整理可得，解得，
且，所以或。
16.（1）或
（2）
（1）圆的方程可化为，圆心，半径。
过点且斜率不存在的直线与圆相切，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
∴，解得，∴切线方程为，
∴所求切线方程为或。
（2）设，则，
即，
因为是圆上一动点，
所以与有公共点，
所以，解得，
∴的取值范围。
17.（1）由于，，，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
，，
故，
故，因此
（2）由于平面，故平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
故，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
故，
18.（1）因为，所以愿意报名参加答题活动人数为，
又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为：
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（2）（i）设随机变量为甲答对题目的个数，则。
则，，，，，
假设最有可能答对题目的数量是次，则
即：，
解得，又，则；
（ii）的所有可能取值为：，，，，
，，，
，
所以的分布列为：
1 2 3 4
故.
19.（1） ；
（2）（i）；（ii）是，定点为.
（1）设，由题意有，则；
（2）（i）设，，，联立抛物线有，
则，且，，则，
由，可得，即，
所以直线恒过点，则
，当且仅当时取等号，
所以面积最小值为；
（ⅱ）法一：由题设，且，联立，可得，
同理，
所以，则
，
由，
所以，
当时，，
所以直线过定点。
法二：由题，斜率必存在，设直线的方程为：，
联立，消有：，，
，，
，
代入韦达定理得，
直线的方程为：，
过定点。