江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二上学期2月期末测试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二上学期2月期末测试数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 145.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
南昌市外国语学校2025—2026学年上学期
高二数学期末测试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
A． B．
C． D．
2．从，，，，这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种．
A．24 B．48 C．72 D．120
3．如图，在四面体中，，，，点满足，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点，两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，，则到抛物线的准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．在展开式中的系数为（ ）
A．10 B．15
C． D．
7．已知球是正三棱锥的外接球，，，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
8．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.
A．105 B．95 C．85 D．75
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．圆与圆有两条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆存在无数对点关于直线对称
10．棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，下列命题中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与的取值无关
B．当时，点到直线的距离是
C．当时，
D．当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为
11．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．在的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
13．已知椭圆的两个焦点分别为，，过椭圆上顶点与左焦点的直线与椭圆的另一个交点为，若是直角，则椭圆的离心率是 ．
14．“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如，，……都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如，，……都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素
数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率= ______.
四、解答题（第15题13分，第16题、17题15分，第18题、19题17分）
15. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的列联表：
性别 打篮球 合计
不喜爱 喜爱
男生 25
女生 10 30
合计 100
(1)请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关．(单位：人)
（2）若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为Y，求Y的均值和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.边上存在一点，使平面，.若平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
17. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，。
（1）求的方程；
（2）过的直线交于另一点（异于，），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点。
18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为。
（1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，。
①求证：平面；
②设，为平面内的动点，求周长的最小值。
（2）若，，求二面角的取值范围。
19. 《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决。现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙。
（1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立。已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，求该擂主连胜三局的概率。
（2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛。已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立。
（i）若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：。
1.C
2.C
3.C
4.C
5．B
6．C
7．C
8.A
9．ABD
10．ABD
11．BCD
12．14
13．
14．
15.（1）列联表如下：
性别 打篮球 合计
不喜爱 喜爱
男生 25 45 70
女生 20 10 30
合计 45 55 100
零假设：学生喜爱打篮球与性别无关，
根据列联表数据，计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即学生喜爱打篮球与性别有关．
（2）喜欢打篮球的概率为，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，
记40人中喜爱打篮球的人数为，则服从二项分布，
则的均值：，
的方差：．
16．（1）过作于，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以．
又平面，平面，所以。
因为平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以。
（2）以为坐标原点，以，所在的直线为，轴，以过作的平行线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面与平面所成角为，
，。
所以平面与平面所成角的余弦值。
17.（1）在上，．①
，，，，
，②
由①②解得，，故的方程为．
（2）解法一：设直线的方程为，直线的方程为，
联立得．
联立消去，整理得，
，，即．
直线的斜率为，直线的方程为．
令，得，即．
直线的斜率为，直线的方程为，
即．
由解得，，
故直线过定点．
解法二：同法一，得，，
设直线过定点，则．
又，，
，
整理得．
由解得，．故直线过定点．
解法三：①当直线斜率存在时，设的方程为，则．
由直线的斜率为得．
联立消去，整理得，
，，，
直线的斜率为，直线的方程为．
联立得．
直线的斜率为，直线的方程为，
即．由得，．
②当直线斜率不存在时，，，，直线的方程为，
代入得，故直线过定点．
综上，直线过定点．
显然过点．
综上所述，直线过定点．
18．
（1）（i）由平面，平面，得，
由，得平面，而平面，则，
又，，，平面，则平面，
又平面，则，而，，平面，
所以平面；
（ii）由，得，，，则，
过点作，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直
角坐标系，
由，得，，，
则，，，，，
则平面的一个法向量为，
设点关于平面对称的点为，则，
，要最小，则需，，三点共线，
此时的最小值为的长，其中，且，
则且，而，解得，
故，；
所以周长的最小值为.
（2）与平面所成的角，
以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，故，，，
与平面所成的角，，则点在平面的投影为以为圆心，为半径的圆，
设，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，平面的法向量为，
设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，，
则，，
令，则，
又在上单调递减，因此，
所以二面角的取值范围为。
19.（1）设该擂主连胜三局为事件，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件，，，则，，，
由题知，事件，，相互独立，
所以，
所以该擂主连胜三局的概率为。
（2）（i）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则，
由题意得的所有可能取值为：，，，
，
，
所以的分布列为：
2 4 5
所以的期望为：
，
由，得，当且仅当时取等号，则，
因此，
所以的最大值为.
（ii）设事件，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.
由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，
由题设可知前两局比赛结果可能是，，，，其中事件表示“甲赢得比赛”，
事件表示“乙赢得比赛”，事件，表示“甲、乙各得1分”，
当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，
所以
，
因此，得，
而，所以
高二数学期末测试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
A． B．
C． D．
2．从，，，，这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（ ）种．
A．24 B．48 C．72 D．120
3．如图，在四面体中，，，，点满足，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点，两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，，则到抛物线的准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．在展开式中的系数为（ ）
A．10 B．15
C． D．
7．已知球是正三棱锥的外接球，，，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
8．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.
A．105 B．95 C．85 D．75
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．圆与圆有两条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆存在无数对点关于直线对称
10．棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，下列命题中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积与的取值无关
B．当时，点到直线的距离是
C．当时，
D．当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为
11．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．在的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
13．已知椭圆的两个焦点分别为，，过椭圆上顶点与左焦点的直线与椭圆的另一个交点为，若是直角，则椭圆的离心率是 ．
14．“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如，，……都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如，，……都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素
数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率= ______.
四、解答题（第15题13分，第16题、17题15分，第18题、19题17分）
15. 为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的列联表：
性别 打篮球 合计
不喜爱 喜爱
男生 25
女生 10 30
合计 100
(1)请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关．(单位：人)
（2）若将频率视作概率，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为Y，求Y的均值和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.边上存在一点，使平面，.若平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
17. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，。
（1）求的方程；
（2）过的直线交于另一点（异于，），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点。
18. 在三棱锥中，，，与平面所成的角为。
（1）若，，如图，过点作平面，分别交，于点，。
①求证：平面；
②设，为平面内的动点，求周长的最小值。
（2）若，，求二面角的取值范围。
19. 《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决。现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙。
（1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立。已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，求该擂主连胜三局的概率。
（2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛。已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立。
（i）若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：。
1.C
2.C
3.C
4.C
5．B
6．C
7．C
8.A
9．ABD
10．ABD
11．BCD
12．14
13．
14．
15.（1）列联表如下：
性别 打篮球 合计
不喜爱 喜爱
男生 25 45 70
女生 20 10 30
合计 45 55 100
零假设：学生喜爱打篮球与性别无关，
根据列联表数据，计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即学生喜爱打篮球与性别有关．
（2）喜欢打篮球的概率为，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，
记40人中喜爱打篮球的人数为，则服从二项分布，
则的均值：，
的方差：．
16．（1）过作于，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以．
又平面，平面，所以。
因为平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以。
（2）以为坐标原点，以，所在的直线为，轴，以过作的平行线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面与平面所成角为，
，。
所以平面与平面所成角的余弦值。
17.（1）在上，．①
，，，，
，②
由①②解得，，故的方程为．
（2）解法一：设直线的方程为，直线的方程为，
联立得．
联立消去，整理得，
，，即．
直线的斜率为，直线的方程为．
令，得，即．
直线的斜率为，直线的方程为，
即．
由解得，，
故直线过定点．
解法二：同法一，得，，
设直线过定点，则．
又，，
，
整理得．
由解得，．故直线过定点．
解法三：①当直线斜率存在时，设的方程为，则．
由直线的斜率为得．
联立消去，整理得，
，，，
直线的斜率为，直线的方程为．
联立得．
直线的斜率为，直线的方程为，
即．由得，．
②当直线斜率不存在时，，，，直线的方程为，
代入得，故直线过定点．
综上，直线过定点．
显然过点．
综上所述，直线过定点．
18．
（1）（i）由平面，平面，得，
由，得平面，而平面，则，
又，，，平面，则平面，
又平面，则，而，，平面，
所以平面；
（ii）由，得，，，则，
过点作，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直
角坐标系，
由，得，，，
则，，，，，
则平面的一个法向量为，
设点关于平面对称的点为，则，
，要最小，则需，，三点共线，
此时的最小值为的长，其中，且，
则且，而，解得，
故，；
所以周长的最小值为.
（2）与平面所成的角，
以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，故，，，
与平面所成的角，，则点在平面的投影为以为圆心，为半径的圆，
设，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，平面的法向量为，
设二面角的大小为，由图形知，二面角是锐二面角，，
则，，
令，则，
又在上单调递减，因此，
所以二面角的取值范围为。
19.（1）设该擂主连胜三局为事件，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件，，，则，，，
由题知，事件，，相互独立，
所以，
所以该擂主连胜三局的概率为。
（2）（i）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则，
由题意得的所有可能取值为：，，，
，
，
所以的分布列为：
2 4 5
所以的期望为：
，
由，得，当且仅当时取等号，则，
因此，
所以的最大值为.
（ii）设事件，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.
由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，
由题设可知前两局比赛结果可能是，，，，其中事件表示“甲赢得比赛”，
事件表示“乙赢得比赛”，事件，表示“甲、乙各得1分”，
当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，
所以
，
因此，得，
而，所以
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