江西南昌中学三经路校区2025~2026学年度高二第一学期数学期末考试（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西南昌中学三经路校区2025~2026学年度高二第一学期数学期末考试（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 95.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-17 00:00:00 | ||
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文档简介
2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区期末考试
高二数学
考试时间：120分钟
一、单选题（共40分）
1．已知随机变量服从分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知随机变量，，则（ ）
A．5 B．4 C．6 D．3
3．已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为（ ）
A． B．2
C． D．
4．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知椭圆与直线交于，两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C. D.
8. 已知正方体的棱长为1，若空间中存在一点，满足
，则点到直线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（共18分）
9. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列
说法正确的有（ ）
A.
B. 第4项的二项式系数最大
C. 的系数为60
D. 展开式各项系数之和为64
10. 下列给出的命题正确的是（ ）
A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底
B. 点为平面上的一点，为平面外的一点，且，
则
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则
D. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则
11.2025年国庆假期，小张、小李、小王、小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖、明孝陵、牛首
山、银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（ ）
A. 每个景点都有人去的情况共有24种
B. 有景点没人去的情况共有256种
C. 恰有1个景点没人去的情况共有144种
D.4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种
三、填空题（共15分）
12. 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为____.
13. 若，，，则
14.7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是。
四、解答题（共77分）
15. 已知圆经过坐标原点，且圆心为。
（1）求圆的标准方程；
（2）过点引圆的切线，求切线的方程。
16. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示：
第天 1 2 3 4 5
高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度。
参考数据：，，。
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，。
17. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，。
（1）求证：平面；
（2）若平面 平面 ，，。
①若点 到平面 的距离为 ，求 的值。
②当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值。
18.DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手。它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习。某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为 ；如果出现语法错误，它回答正确的概率为 。假设每次输入的问题出现语法错误的概率为 ，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立。该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答。已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个。
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率；
（3）设小张答对的题数为 ，求 的分布列，并求出 的期望和方差。
19. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 相切。
（1）求 的方程。
（2）过点 且与 平行的直线 与 相交于 、 两点，求 。
（3）已知点 ，不垂直于 轴的直线 与抛物线 交于 、 两点，若直线 、 关于 轴对称，求证：直线 过定点并写出定点坐标。
参考答案
1．D
2．A
3．C
4．B
5．A
6．A
7．B
8．A
9．ABC
10．BD
11．ACD
12．8
13．
14．
15．（1）
（2）和
（1）因为圆心为，且过原点，所以半径，
则圆的方程为．
（2）当斜率不存在时，过点的方程为，圆心到的距离为等于半径，符
合题意；
当斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得
所以切线方程为，
综上所述：切线的方程为和．
16．（1）由，，
，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题意可得：，，
所以关于的回归直线方程为.
当时，，
由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 cm.
17.（1）连接交于点，连接，
因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点，
所以在中，有，因为平面，平面，
所以平面；
（2）①在正方形中，有，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，又，
故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角
坐标系，如图所示，
则有，，，，，
则，，，，
设为平面的法向量，则有，即，
取，得，，则，
点到平面的距离为，解得；
（ii）当时，，，
设为平面的法向量，则有，
即，取，得，，则，
由①可知是平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为。
18.（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的 个问题均来自他能正确回答的 个问题．
则由古典概型的概率公式可得，
小张能全部回答正确的概率 ，
故小张能全部回答正确的概率为 ；
（2）设事件 表示“输入的问题没有语法错误”，事件 表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，
则 ，且事件 与 互斥，
由题意知 ，，，
则 ，
由全概率公式可得，
．
故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为 ；
（3）已知小张答对的题数为 ，则 的可能取值是 ，，
且 ，，
所以 的分布列为：
则 ，
．
故 的期望为 ，方差为 ．
19.（1）联立，整理得，
因为与相切，所以，解得或（舍去），
故的方程为．
（2）如图所示，
由（1）可知，因为，所以的方程为，
设，，联立，
整理得，则，，
．
（3）如图所示，
易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，
由得，所以，，
因为直线，关于轴对称，所以，
即，所以，
所以，所以，
解得，所以直线的方程为，直线过定点。
高二数学
考试时间：120分钟
一、单选题（共40分）
1．已知随机变量服从分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知随机变量，，则（ ）
A．5 B．4 C．6 D．3
3．已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为（ ）
A． B．2
C． D．
4．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知椭圆与直线交于，两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C. D.
8. 已知正方体的棱长为1，若空间中存在一点，满足
，则点到直线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（共18分）
9. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列
说法正确的有（ ）
A.
B. 第4项的二项式系数最大
C. 的系数为60
D. 展开式各项系数之和为64
10. 下列给出的命题正确的是（ ）
A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底
B. 点为平面上的一点，为平面外的一点，且，
则
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则
D. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则
11.2025年国庆假期，小张、小李、小王、小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖、明孝陵、牛首
山、银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（ ）
A. 每个景点都有人去的情况共有24种
B. 有景点没人去的情况共有256种
C. 恰有1个景点没人去的情况共有144种
D.4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种
三、填空题（共15分）
12. 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为____.
13. 若，，，则
14.7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是。
四、解答题（共77分）
15. 已知圆经过坐标原点，且圆心为。
（1）求圆的标准方程；
（2）过点引圆的切线，求切线的方程。
16. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示：
第天 1 2 3 4 5
高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度。
参考数据：，，。
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，。
17. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，。
（1）求证：平面；
（2）若平面 平面 ，，。
①若点 到平面 的距离为 ，求 的值。
②当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值。
18.DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手。它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习。某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为 ；如果出现语法错误，它回答正确的概率为 。假设每次输入的问题出现语法错误的概率为 ，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立。该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答。已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个。
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率；
（3）设小张答对的题数为 ，求 的分布列，并求出 的期望和方差。
19. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 相切。
（1）求 的方程。
（2）过点 且与 平行的直线 与 相交于 、 两点，求 。
（3）已知点 ，不垂直于 轴的直线 与抛物线 交于 、 两点，若直线 、 关于 轴对称，求证：直线 过定点并写出定点坐标。
参考答案
1．D
2．A
3．C
4．B
5．A
6．A
7．B
8．A
9．ABC
10．BD
11．ACD
12．8
13．
14．
15．（1）
（2）和
（1）因为圆心为，且过原点，所以半径，
则圆的方程为．
（2）当斜率不存在时，过点的方程为，圆心到的距离为等于半径，符
合题意；
当斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得
所以切线方程为，
综上所述：切线的方程为和．
16．（1）由，，
，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题意可得：，，
所以关于的回归直线方程为.
当时，，
由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 cm.
17.（1）连接交于点，连接，
因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点，
所以在中，有，因为平面，平面，
所以平面；
（2）①在正方形中，有，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，又，
故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角
坐标系，如图所示，
则有，，，，，
则，，，，
设为平面的法向量，则有，即，
取，得，，则，
点到平面的距离为，解得；
（ii）当时，，，
设为平面的法向量，则有，
即，取，得，，则，
由①可知是平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为。
18.（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的 个问题均来自他能正确回答的 个问题．
则由古典概型的概率公式可得，
小张能全部回答正确的概率 ，
故小张能全部回答正确的概率为 ；
（2）设事件 表示“输入的问题没有语法错误”，事件 表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，
则 ，且事件 与 互斥，
由题意知 ，，，
则 ，
由全概率公式可得，
．
故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为 ；
（3）已知小张答对的题数为 ，则 的可能取值是 ，，
且 ，，
所以 的分布列为：
则 ，
．
故 的期望为 ，方差为 ．
19.（1）联立，整理得，
因为与相切，所以，解得或（舍去），
故的方程为．
（2）如图所示，
由（1）可知，因为，所以的方程为，
设，，联立，
整理得，则，，
．
（3）如图所示，
易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，
由得，所以，，
因为直线，关于轴对称，所以，
即，所以，
所以，所以，
解得，所以直线的方程为，直线过定点。
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