江西上高二中2025-2026学年度上学期高二期末考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西上高二中2025-2026学年度上学期高二期末考试数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 128.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年度上学期高二期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 以上都不是
2. 圆心为，半径为6的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则 =（ ）
A. B.
C.5 D.10
4. 空间四点、、、共面，则 =（ ）
A. B.
C.1 D.4
5. 在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率为
A. B.
C. D.
6. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为
A. B.150
C. D.500
7. 如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，在侧面上，有下列四个命题：
①若，则面积的最小值为；
②平面内存在与平行的直线；
③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个；
④过作面与面平行，则正方体在面的正投影面积为。
则上述四个命题中，真命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题
本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B. 的圆心为，半径为
C. 方程能表示平面内的任何直线
D. 若直线不经过第二象限，则的取值范围是
10. 甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球、乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球.先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以、和表示由甲口袋取出的球是红
球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 事件与事件相互独立
D. ，，是两两互斥的事件
11. 已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的，两点，在线段上，点为在上的射影．下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，三点共线，则
C. 若，则
D. 对于任意直线，都有
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___.
13. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6. 若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于12的情形共有___种.（请用数字作答）
14. 若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为．
（1）求的值；
（II）求的展开式中的常数项.
16．已知圆和直线
（1）求的取值范围；
（2）当圆与直线相切时，求圆关于直线的对称圆方程；
（3）若圆与直线交于、两点，是否存在，使以为直径的圆经过原点？
17．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形为直角梯形，其中，，，.点、、分别为线段、、的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，（在第一象限），且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点．
①设直线、的斜率分别为，，证明为定值；
②求直线斜率取最小值时，直线的方程.
19．已知，，点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）在二次曲线中，我们常把存在相同对称轴和焦点的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“组合曲线”，已知曲线与抛物线构成“组合曲线”，设过点的直线交“组合曲线”于，两点，记，。
①若直线的斜率为，求的值；
②求的最值。
1．C
2．B
3．D
4．A
5．C
6．B
7．B
8．C
9．BCD
10．ABD
11．BCD
12.
13．
14．
15．（I）；（II）．
（I）所有不同的排法种数．
（II）由（I）知，，
的展开式的通项公式为，
令，解得，
展开式中的常数项为．
16．（1）；（2）；（3）．
解：（1）圆，
可化为 ，
，
（2）圆 ，
圆心为 ，圆与直线相切，
，
设关于直线的对称点，则 ，
故所求圆的方程为：.
（3）法1：假设存在使以为直径的圆经过原点，可得，
则设，，联立
得，
，
且符合，存在，使以为直径的圆经过原点.
法2：（圆系）设圆方程，
圆心代入直线得
解得，
由圆过原点得，检验满足.
故存在，使以为直径的圆经过原点.
17.（1）连接，设与相交于点，如图，
因为，且，，
所以四边形为矩形，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以为的中位线，即，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，分别为线段，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面.
（2）因为底面，平面，平面，
所以，，因为，
所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，所以，
令，可得，，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为。
18.（1）由题意得：，
所以，，
故椭圆方程为。
（2）①设，（，），由，可得，
所以直线的斜率，直线的斜率
此时，所以为定值。
②设，，直线的方程为，直线的方程为。
联立，整理得，
由，可得，
同理，。
所以，，
，
所以，
由，，可知，所以，当且仅当时取得等号。
由，，在椭圆：上得，
此时，即，
由得，，所以时，符合题意。
所以直线的斜率最小时，直线的方程为。
19.（1）
（2）①；②最小值为，最大值为
（1），
化简得，
所以的方程为.
（2）①根据（1）可知的焦点为、，而抛物线，
所以公共焦点为，，解得，
所以抛物线方程为，
“组合曲线”为曲线与组合而成，如图所示，
实线部分记为“组合曲线”，联立抛物线和椭圆方程，得，
解得或（舍去），所以，进一步得，
所以，因此当直线的斜率为时，
G，H就是直线与椭圆的交点，且其中一点与W点重合，
因此联立，解得，，
故。
②设直线的倾斜角为，根据对称性，不妨设G在上方，H在下方，
由①可知，当，
即时，直线正好过椭圆与抛物线的上下交点，
先讨论G的位置，由题意知，
当时，G在椭圆上，代入椭圆方程，得到，
解得或（舍去），
当G在抛物线上，
根据抛物线定义可知，因此，
同理再讨论H的位置，由题意知，
当时，H在抛物线上，由抛物线定义可知，
故，
当时，H在椭圆上，代入椭圆方程，
得到，解得或（舍去），
因此，当时，；
当时，；
当时，；
综上，当时，有最小值，当时，有最大值。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 以上都不是
2. 圆心为，半径为6的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则 =（ ）
A. B.
C.5 D.10
4. 空间四点、、、共面，则 =（ ）
A. B.
C.1 D.4
5. 在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率为
A. B.
C. D.
6. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式的系数为
A. B.150
C. D.500
7. 如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，在侧面上，有下列四个命题：
①若，则面积的最小值为；
②平面内存在与平行的直线；
③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个；
④过作面与面平行，则正方体在面的正投影面积为。
则上述四个命题中，真命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题
本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B. 的圆心为，半径为
C. 方程能表示平面内的任何直线
D. 若直线不经过第二象限，则的取值范围是
10. 甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球、乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球.先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以、和表示由甲口袋取出的球是红
球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 事件与事件相互独立
D. ，，是两两互斥的事件
11. 已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的，两点，在线段上，点为在上的射影．下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，三点共线，则
C. 若，则
D. 对于任意直线，都有
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___.
13. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6. 若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于12的情形共有___种.（请用数字作答）
14. 若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为．
（1）求的值；
（II）求的展开式中的常数项.
16．已知圆和直线
（1）求的取值范围；
（2）当圆与直线相切时，求圆关于直线的对称圆方程；
（3）若圆与直线交于、两点，是否存在，使以为直径的圆经过原点？
17．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形为直角梯形，其中，，，.点、、分别为线段、、的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，（在第一象限），且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点．
①设直线、的斜率分别为，，证明为定值；
②求直线斜率取最小值时，直线的方程.
19．已知，，点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）在二次曲线中，我们常把存在相同对称轴和焦点的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“组合曲线”，已知曲线与抛物线构成“组合曲线”，设过点的直线交“组合曲线”于，两点，记，。
①若直线的斜率为，求的值；
②求的最值。
1．C
2．B
3．D
4．A
5．C
6．B
7．B
8．C
9．BCD
10．ABD
11．BCD
12.
13．
14．
15．（I）；（II）．
（I）所有不同的排法种数．
（II）由（I）知，，
的展开式的通项公式为，
令，解得，
展开式中的常数项为．
16．（1）；（2）；（3）．
解：（1）圆，
可化为 ，
，
（2）圆 ，
圆心为 ，圆与直线相切，
，
设关于直线的对称点，则 ，
故所求圆的方程为：.
（3）法1：假设存在使以为直径的圆经过原点，可得，
则设，，联立
得，
，
且符合，存在，使以为直径的圆经过原点.
法2：（圆系）设圆方程，
圆心代入直线得
解得，
由圆过原点得，检验满足.
故存在，使以为直径的圆经过原点.
17.（1）连接，设与相交于点，如图，
因为，且，，
所以四边形为矩形，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以为的中位线，即，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，分别为线段，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面.
（2）因为底面，平面，平面，
所以，，因为，
所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，所以，
令，可得，，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为。
18.（1）由题意得：，
所以，，
故椭圆方程为。
（2）①设，（，），由，可得，
所以直线的斜率，直线的斜率
此时，所以为定值。
②设，，直线的方程为，直线的方程为。
联立，整理得，
由，可得，
同理，。
所以，，
，
所以，
由，，可知，所以，当且仅当时取得等号。
由，，在椭圆：上得，
此时，即，
由得，，所以时，符合题意。
所以直线的斜率最小时，直线的方程为。
19.（1）
（2）①；②最小值为，最大值为
（1），
化简得，
所以的方程为.
（2）①根据（1）可知的焦点为、，而抛物线，
所以公共焦点为，，解得，
所以抛物线方程为，
“组合曲线”为曲线与组合而成，如图所示，
实线部分记为“组合曲线”，联立抛物线和椭圆方程，得，
解得或（舍去），所以，进一步得，
所以，因此当直线的斜率为时，
G，H就是直线与椭圆的交点，且其中一点与W点重合，
因此联立，解得，，
故。
②设直线的倾斜角为，根据对称性，不妨设G在上方，H在下方，
由①可知，当，
即时，直线正好过椭圆与抛物线的上下交点，
先讨论G的位置，由题意知，
当时，G在椭圆上，代入椭圆方程，得到，
解得或（舍去），
当G在抛物线上，
根据抛物线定义可知，因此，
同理再讨论H的位置，由题意知，
当时，H在抛物线上，由抛物线定义可知，
故，
当时，H在椭圆上，代入椭圆方程，
得到，解得或（舍去），
因此，当时，；
当时，；
当时，；
综上，当时，有最小值，当时，有最大值。
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