江西上饶市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题（含答案）

高二数学
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线：的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，则事件与的关系是（ ）.
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与互斥又相互独立
4．“嘉游赣”是江西省总工会组织的，旨在提高全省职工生活品质、缓解工作压力的一项文旅活动.元旦期间，上饶某学校高二年级数学组有6位老师相约去了著名的国家5A景区——上饶市三清山景区观看雪景.神女峰前，白雪轻洒，神女犹如身披白色婚纱，寓意极好，于是大家提议拍照照留念.6人中恰好3对夫妻，故拍照时要求夫妻相邻，而非夫妻关系的老师同性别相邻，则共有（ ）种不同的排位方法.
A． B．
C． D．
5．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ）
A． B．
C． D．
6．若一个正三角形在平面上的投影为等腰直角三角形，则该正三角形所在平面与平面的夹角的正切值为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知由椭圆：与椭圆：的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的值为（ ）
A. B.4
C. D.
8. 两根相同的正三棱柱钢管均被一个经过底面一个顶点且与底面的另一条边平行的平面所截，截得的几何体以截面完全重合的方式拼接在一起构成一个“V”型管道，若这两个正三棱柱钢管长为10cm，底面边长为2cm，且截面与底面所成角为，则能顺利地从管道的一端通过到管道另一端（管壁的厚度忽略不计）的球最大半径为（ ）cm.
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ）
A. 与直线垂直
B. 在轴上的截距为2
C. 与圆相离
D. 与直线之间的距离为
10. 一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用表示样本中球的编号为偶数的个数，用表示样本中球的最大编号，则（ ）
A. 若采取有放回摸球，
B. 若采取不放回摸球，则
C. 若采取有放回摸球，则
D. 若采取不放回摸球，则
11. 已知抛物线：的焦点与圆的圆心重合，直线与交于、两点，且满足（其中为坐标原点且，均不与重合），则（ ）
A. ，
B. 直线恒过定点
C. 面积的最小值为16
D. 中点轨迹方程：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ____.
13. 已知正四面体，直线是底面三角形外接圆在点处的切线，则直线与侧面所成角的正弦值为____.
14. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，双曲线在第一象限上的任意一点都满足，则该双曲线的离心率为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.
（1）求直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
16.（1）已知动直线：，圆：，求直线与圆相交的最短弦长；
（2）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上，是圆上任意一点，求的取值范围.
17. 如图，在三棱锥中，，，，，且二面角与二面角均为.
（1）求点到底面的距离；
（2）证明：侧棱上不存在点使得平面。
18. 有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点，所在的直线为轴，以线段的中点为原点建立平面直角坐标系。记折痕与的交点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）过曲线外一点作该曲线的两条切线，切点分别为，，记，的斜率分别为，，且。
①求点轨迹方程；
②求证：的面积为定值。
19. 材料一：上饶是江西省下辖的地级市，位于江西省东北部，地处赣、浙、闽、皖四省交界，素有“豫章第一门户”“八省通衢”之称，行政区域划分如下左图。
材料二：以足球为纽带，向全国生动展现上饶乡村振兴的蓬勃生机与活力，上饶市拟举办“大美上饶快乐县超”足球赛活动。赛事规则：（1）上饶每个县、市、区各一支代表队参赛，共支队伍；（2）比赛共分成弋阳、婺源两个赛区进行，每场对决无平局；（3）赛程分为两个阶段，第一阶段为支队伍通过抽签分为组，每组支队伍，其中弋阳赛区个小组为单循环赛（小组内每两支代表队打一场比赛，胜一场得分，负一场得分，积分高的第一、二名晋级决赛），婺源赛区个小组为淘汰赛（小组内代表队先抽签两两对决，输一场即淘汰，无平局，对阵图如下右图），两个赛区共支队伍晋级；（4）第二阶段亦为淘汰赛，由弋阳赛区第一名对决婺源赛区第二名，弋阳赛区第二名对决婺源赛区第一名，两场胜者再对决，获胜者为冠军。
已知余干县、玉山县、广丰区、信州区4支代表队为第一梯队，其余8支代表队为第二梯队，同一梯队的代表队相互对决彼此获胜概率为，第一梯队代表队对决第二梯队代表队获胜概率为，每场对决结果相互独立.
（1）现有4种颜色，对地图进行涂色，要求相邻县市区不同色.只涂染上饶西部三个县（余干县、鄱阳县、万年县），有多少种涂染方法？若只涂染东部9个县市区（除余干县、鄱阳县、万年县以外），有多少种涂染方法？
（2）根据抽签结果得知，信州区、广信区、弋阳县和鄱阳县4支代表队分在弋阳赛区；其余8支代表队分在婺源赛区的2个小组中，且同一小组的代表队所在县市区在地图上的涂色恰好可以完全相同，
①求广丰区代表队从婺源赛区出线的概率；
②当信州区代表队三战全胜从弋阳赛区出线，求广丰区代表队与余干县代表队会师决赛并夺得此赛事冠军的概率.
1．C
2．B
3．C
4．A
5．D
6．B
7．A
8．D
9．
10．AC
11．ABC
12．35
13．
14.2
15.（1）
（2）
（1） ∵四边形为平行四边形，∴∴。
∴直线的方程为，即。
（2） ∵，∴。
∴直线的方程为，即。
16.（1）；（2）
（1）直线可化为，所以直线经过直线与的交点，弦长公式为（为圆心到直线的距离），因为是定值，所以弦长最短等价于最大，而直线恒过定点，圆心到直线的距离；
当且仅当时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为.
（2）设圆的方程为，，因为圆心在直线上，所以，
又因为，代入，得：，
展开化简得，与方程联立，
解得，，
所以圆的方程为，
若点在圆上，则可设为，，其中，
所以，
则的取值范围是.
17.（1）底面中，，，，满足，
所以，即，
设在底面的射影为，即平面，
则为点到底面的距离，
过作于，作于，连接、，
由三垂线定理可知，，，
所以，分别为二面角与二面角，
所以，
以为原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
依条件可设，则，（，，），
由可得，由可得，
所以，， ， ，
在和中，，，
所以，即，则，，
又因为，而，
解得，。
（2）方法一：假设侧棱上存在点使得平面，
由（1）可得，
因为，，三点共线，所以可设，得，
故，即无解，
所以侧棱上不存在点使得平面，
方法二：假设侧棱上存在点使得平面，
则。
但，矛盾，
所以侧棱上不存在点使得平面。
18.（1）由题意可知，，
点轨迹是以，为焦点，4为长轴长的椭圆，
∴曲线的方程为.
（2）①设，过点直线方程设为.
由，消元得：，
由直线与椭圆相切，
化简得：，
，
点轨迹方程为；
②设，，则：，：，
因为，过点，，
方程为.
由，
，
，
，
的面积为定值.
19.(1)864
（2）① ②
（1）上饶西部三个县（余干县、鄱阳县、万年县）有种涂染方法，
东部9个县市区（除余干县、鄱阳县、万年县以外）所在区域：
先涂染横峰县区域有4种涂染方法，
再依次涂染环横峰县的弋阳县、铅山县、广信区和德兴市等4个县市区：
种涂染方法，
接着涂染信州区、广丰区和玉山县等3个县市区，
分德兴市、信州区同色或德兴市、广丰区同色两种情况，共有4种涂染方法，
最后涂染婺源县，有3种方法，根据分步计数原理可知，
共有种涂染方法.
（2）①婺源赛区的2个小组，且同一小组的代表队所在县市区在地图上的涂染颜色恰好可以完全相同，
广丰区、德兴市、铅山县的代表队必同组，而玉山县、横峰县、婺源县的代表队必同组，万年县和余干县均有两种可能，故广丰区代表队从婺源赛区出线有两类情况：
第一种情况：广丰区、德兴市、铅山县和余干县的代表队同组小组出线，
其中广丰区和余干县代表队第一轮相遇后出线的概率，
广丰区和余干县代表队第二轮相遇后出线的概率，
广丰区和余干县代表队未相遇后出线的概率，
第二种情况：广丰区、德兴市、铅山县和万年县的代表队同组小组出线的概率为
，
故广丰区代表队小组出线的概率为，
②广丰区代表队与余干县代表队会师决赛，广丰区代表队与余干县代表队不同小组，
由①可知此情况广丰区代表队出线的概率为，
余干县代表队出现的概率为，
广丰区代表队与余干县代表队会师决赛并夺得此赛事冠军的概率为：
.